Chuyên đề một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì:

sin cos ; sin cos

tan cot ; tan cot

b a B a C c a C a B

b c B c C c b C b B

   

   

II. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).

B. MỘT SỐ DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, B   . Tính giá trị của  để BH = 3CH.

Giải

Đặt AH = h.

Xét ABH vuông tại H ta có:

BH = AH.cot B = h.cot .

Xét ACH vuông tại H ta có:

CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan .

2

1 3 .cot 3 .tan 3tan tan

1 3 tan tan tan30 30 3 3

BH CH h h    

  

    

      

Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của .

Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết   35 , 50 B C     và đường cao AH = 5,0cm.

Giải

Ta phải tìm A , AB, AC và BC.

     180 95 A B C     

• Xét ABH vuông tại H ta có:

  5,0 .sinB 8,7 sinB sin35 AH AH AB AB cm      

  .cotB 5,0.cot35 7,1 BH AH cm   

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

• Xét ACH vuông tại H ta có:

  5,0 .sin 6,5 sin sin50 AH AH AC C AC cm C      

  .cot 5,0.cot50 4,2 CH AH C cm   

Do đó   7,1 4,2 11,3 BC BH CH cm     

Vậy  95 ; 8,7 ; 6,5 ; 11,3 A AB cm AC cm BC cm     

Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:

.cos ; .cos BH AB B CH AC C  

Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A.

Giải

Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD và CK  AD.

Xét ABH vuông tại H, ACK vuông tại K, ta có: .sin ; sin 2 2 A A BH AB CK AC  

Vậy  sin 8sin 2 2 A A BH CK AB AC    

Mặt khác ,

  4 BH CK BD CD BC cm     

nên 1 8sin 4 sin sin30 2 2 2 A A     

Do đó

  30 60 2 A A    

vậy  max 60 A   khi D, H, K trùng nhau  ABC đểu.

Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vuông góc với AD mà ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A.

Ví dụ 4. Chứng minh định lí côsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa của chúng.

Giải

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Vẽ đường cao BH. Xét HBC vuông tại H ta có:

 

 



2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 .

2 .

2 . 1

BC HB HC HB AC AH

HB AC AC AH AH

HB AH AC AC AH

AB AC AC AH

    

   

   

  

Xét ABH vuông tại H ta có : AH = AB. cosA

Thay vào (1) ta được 2 2 2 2 . .cosA BC AB AC AC AB   

Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng:

'. '. ' ' . ' . ' . . .cos .cos .cos AB BC CA A B B C C A AB BC CA A B C  

Bài 3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ

tam giác ABM vuông tại M sao cho    0 90 ABM      . Tính độ dài ngắn nhất của AB.

Bài 4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và 3 3 BC cm  . Điểm A di động sao cho AB + AC = …