Tài liệu Toán 9 chủ đề căn bậc ba

1

CĂN BẬC BA

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Căn bậc ba

1. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho 3x a = . Tức là

3 3 x a x a = ⇔ =

Minh họa: 3 8 2 = vì 32 8 = ; 3 27 3 − = − vì ( ) 3 3 27 − = −

2. Tính chất

a. Mỗi số a có duy nhất một căn bậc ba:

3 3a a =

b. Nếu 0 a > thì: 3 0 a >

- Nếu 0 a < thì: 3 0 a <

- Nếu 0 a = thì: 3 0 a =

3. Hằng đẳng thức

3 3 A A =

4. So sánh các căn bậc ba 3 3 A B A B < ⇔ < ; 3 3 A B A B = ⇔ =

5. Các phép biến đổi

- Khai căn bậc ba một tích số: 3 3 3 3 . . ABC A B C =

- Phép nhân các căn bậc ba: 3 3 3 3 . . A B C ABC =

- Khai căn bậc ba của một thương số: ( )

3 3 3 0 A A B B B = ≠

- Chia hai căn bậc ba: ( )

3 3 3 0 A A B B B = ≠

- Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 3 3 3 A B A B =

- Đưa một thừa số vào trong dấu căn: 3 3 3 A B A B =

- Khử mẫu trong căn: ( ) ( )

3 2 3 3 3 2 0 ; 0 A AB A AB B B B B B B = ≠ = ≠

- Trục căn thức ở mẫu: ( ) ( )

3 2 3

3 3 2 1 1 0 ; 0 A A A A A A A A = ≠ = ≠

II. Căn bậc n

Căn bậc ,n n N ∈ và 2 n ≥, của một số A là một số x mà lũy thừa bậc n của nó bằng A

2

Ký hiệu: ( ) ; ;

n n n n n x A x A x A A A = = ⇒ = =

+) Căn bậc lẻ: Bất kỳ số thực nào cũng có một căn bậc lẻ và chỉ một mà thôi

Với mọi số tự nhiên , , 0, m n k > ta có: 2 1 2 1 n n A A + + =

+) Khai căn bậc 2 1 n + của một tích số: 2 1 2 1 2 1 . . n n n A B A B + + + =

+) Phép nhân các căn bậc 2 1 2 1 2 1 2 1: . . n n n n A B A B + + + + =

+) Khai căn bậc 2 1 n + của một thương số: ( )

2 1 2 1 2 1 0

n n n A A B B B

+ + + = ≠

+) Phép chia hai căn thức bậc 2 1 n + : ( )

2 1 2 1 2 1 0

n n n A A B B B

+ + + = ≠

+) Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn: 2 1 2 1 2 1 . . n n n A B A B + + + =

+) Đưa một thừa số vào trong dấu căn: 2 1 2 1 2 1 . . n n n A B A B + + + =

+) Lũy thừa một căn thức: ( ) 2 1 2 1 . k n n m m k A A + + =

+) Hạ bậc một căn thức hoặc nâng bậc một căn thức:

( ) 2 1 2 1 . n k n m k m A A + + =

+) Khai căn một căn thức:

( ) 2 1 2 1 m n m n A A + + =

*) Lưu ý: Khi m chẵn thì 0 A ≥

+) Khử căn trong mẫu:

( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . . n n n n n n A A B A B B B B

+ − + − + + = + = =

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Thực hiện phép tính có chứa căn bậc ba

Cách giải: Áp dụng công thức:

3 3 3 3 ; ( ) a a a a = =

- Các hằng đẳng thức liên quan đến bậc ba

+) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b + = + + +

+) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 a b a a b ab b − = − + −

+) ( )( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b + = + − +

+) ( )( ) 3 3 2 2 a b a b a ab b − = − + +

3

Bài 1: Hãy tính

a) 3 27 b) 3 1 125 c)

3 3 64a d)

3 3 6 8a b −

Lời giải

a) Ta có:

3 3 3 27 3 3 = =

b) Ta có:

3

3 3 1 1 1 125 5 5   = =    

c) Ta có: ( )

3 3 3 3 64 4 4 a a a = =

d) Ta có: ( )

3 3 3 6 2 2 3 8 2 2 a b ab ab − = − = −

Bài 2: Làm phép tính

a) 3 729 b) 3 1 216 c)

3 3 343a d)

3 3 6 512a b −

Lời giải

a) Ta có: 3 729 9 =

b) Ta có: 3 1 1 216 6 =

c) Ta có:

3 3 343 7 a a =

d) Ta có:

3 3 6 2 512 8 a b ab − = −

Bài 3: Thực hiện các phép tính

a)

3 3

3 3 108 7,2 4 0,9 + b) 3 3 3 2 24 5 81 4 192 − +

c)

3 3 3 3 750 160. 1,2 250 − d)

3 3 3

3 2 4 2 2 1 − − −

Lời giải

a) Ta có:

3 3 3 3 3 3 3 3 108 7,2 108 7,2 27 8 5 4 0,9 4 0,9 + = + = + =

b) Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 24 5 81 4 192 2.2. 3 5.3. 3 4.4. 3 5 3 − + = − + =