Tài liệu Toán 9 chủ đề biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

1

BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

2 ( 0; 0) ( 0) ( 0; 0)

A B A B A B A B B A B A B

 ≥ ≥ = ≥ =  − < ≥ 

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

2

2 ( 0; 0)

( 0; 0)

A B khi A B A B A B khi A B

 ≥ ≥  = − < ≥ 

3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

( ) 2 1 0; 0 A AB AB B AB B B B = = ≠ ≥

4. Trục căn thức ở mẫu

a) ( 0) A A B B B B = > b) ( )( ) 2 2 0; C A B C A A B A B A B

− = ≥ ≠ − +

c) ( )( ) 2 2 0; C A B C A A B A B A B

+ = ≥ ≠ − − d) ( )( ) , 0; C A B C A B A B A B A B

− = ≥ ≠ − +

e) ( )( ) , 0; C A B C A B A B A B A B

+ = ≥ ≠ − −

*) Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với lượng

liên hợp của mãu và cần các hằng đẳng thức sau: ( )( ) 2 2 a b a b a b − + = −

- Các dạng liên hợp cơ bản thường gặp

+) ( )( ) A B A B A B − + = −

+) ( )( ) 2 A B A B A B − + = −

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc vào trong dấu căn

Cách giải: Sử dụng kiến thức sau

2

- Cách đưa thừa số 2 A ra ngoài dấu căn:

2 ( 0; 0) ( 0) ( 0; 0)

A B A B A B A B B A B A B

 ≥ ≥ = ≥ =  − < ≥ 

- Cách đưa thừa số vào trong dấu căn:

2

2 ( 0; 0)

( 0; 0)

A B khiA B A B A B khiA B

 ≥ ≥  = − < ≥ 

Bài 1: Viết gọn các biểu thức sau

a. 25.90 b. 96.125 c. 75.54 d. 245.35

Lời giải

a) Ta có: 25.90 15 10 = b) Ta có: 96.125 16.6.5.25 20 30 = =

c) Ta có: 75.54 45 2 = d) Ta có: 245.35 49.5.5.7 35 7 = =

Bài 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a. 45 20 245 + − b. 4 3 27 45 5 + − +

c. 6 2 5 + d. 7 2 10 2 − +

Lời giải

a) Ta có: 2 2 2 45 20 245 3 .5 2 5 7 .5 3 5 2 5 7 5 2 5 + − = + − = + − = −

b) Ta có: 4 3 27 45 5 4 3 3 3 3 5 5 7 3 2 5 + − + = + − + = −

c) Ta có: ( ) ( )

2 2 6 2 5 5 2 5 1 5 1 5 1 5 1 + = + + = + = + = +

d) Ta có: ( )

2 7 2 10 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 − + = − + = − + = − + = .

Bài 3: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a. ( ) 2 27 0 x x ≥ b. ( ) 2 8 0; 0 xy x y ≥ ≤

c. ( ) 3 25 0 x x > d. ( ) 4 48 0; xy x y R ≥ ∈

Lời giải

a) Ta có: ( ) ( ) 2 2 27 3 .3 3 3 3 3 0 x x x x x = = = ≥

b) Ta có: ( ) ( ) 2 2 8 2 .2 2 2 2 2 0; 0 xy y x y x y x x y = = = − ≥ ≤

c) Ta có: ( ) 3 25 5 0 x x x x = >

3

d) Ta có: ( ) ( ) 4 2 2 48 0; 4 3 0 xy x y R y x y ≥ ∈ = ≥

Bài 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn

a. ( ) 13 0 a a ≥ b. ( ) 15 0 a a a − <

c. ( ) 12 0 2 a a a > d. ( ) 2 0 a a ≤

Lời giải

a) Ta có: ( ) 2 13 13 0 a a a = ≥

b) Ta có: ( ) ( )

2 15 15 15 15 0 a a a a a a a a − − − = −− = − = −− <

c) Ta có: ( ) 12 3 0 2 a a a a = >

d) Ta có: ( ) 2 2 2 0 a a a = − ≤

4

Dạng 2: So sánh các căn bậc hai

Cách giải: Đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn rồi so sánh

Bài 1: So sánh các cặp số dưới dây

a) 2 29 và 4 3 b) 5 2 4 và 3 3 2 2

c) 3 3 và 12 d) 7 và 3 5

Lời giải

a) Ta có

2 2 29 2 .29 116 2 29 3 13 3 13 117

 = =  ⇒ <  = 

b) Ta có:

2

2

5 5 25 2 .2 4 4 8 5 3 3 2 4 2 2 3 3 3 3 27 . 2 2 2 2 8

    = =      ⇒ <     = =      

c) Ta có: 2 3 3 3 .3 27 12 = = >

d) Ta có: 2 3 5 3 .5 45 7 = = >

Bài 2: So sánh các cặp số dưới dây

a) 5 2 và 3 13 b) 5 1 2 6 và 1 6 37

a) 1 51 3 và 1 150 5 b) 1 6 2 và 1 6 2

Lời giải

a) Ta có: 5 2 50 4 3 5 2 4 3 48

 = → <  = 

b) Ta có:

5 1 25 5 1 1 25 36 2 6 24 6 1 2 6 37 4 37 1 36 6 37 37

 =    → > > >       = 