Tài liệu Toán 9 chủ đề một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

1

ÔN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TRONG TAM GIÁC

VUÔNG

A. Tóm tắt lý thuyết

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm

vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm

vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH , ta có:

1) Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của

nó trên cạnh huyền

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương

mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và

hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Ta có: 2 . AB BH BC = ; 2 . AC HC BC =

2) Hệ thức liên qua tới đường cao

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích

hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Ta có: 2 . AH BH HC =

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và

đường cao tương ứng

Ta có: . . AB AC AH BC =

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạn

huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

Ta có: 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = +

*) Tóm tắt các công thức

1)

2 2 2 a b c   . 2) 2 2 . '; . ' b a b c a c  

3) 2 '. ' h b c  4) . . a h b c  .

5) 2 2 2 1 1 1 h b c   .

b' c'

h c

b

a

H C B

A

2

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1 2 S ab 

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Cách giải:

Bước 1: Xác định vai trò của đoạn thẳng đã biết và đoạn thẳng cần tính trong tam giác

vuông. Cụ thể, xác định xem đoạn thẳng đó là

+) Là cạnh góc vuông +) Là đường cao

+) Là cạnh huyền +) Là hình chiếu

Bước 2: Từ đó lựa chọn công thức tính phù hợp (trong 6 công thức ở phần lý thuyết)

*) Lưu ý: Đôi khi phải dùng kĩ thuật đại số hóa để giải

Chẳng hạn:

- Nếu có AB m AC n = thì đặt ( ) , , 0 AB AC k m n k AB km m n = = > ⇒ = và AC kn =

- Nếu có BH x CH BC BH BC x = ⇒ = − = −

Bài 1: Tính ,x y trong mỗi hình vẽ sau

Lời giải

a) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

y x

8 6

C H B

A

y

x 7 5

C H B

A

Xác định vai trò của các đoạn thẳng

Lựa chọn công thức tính phù hợp

3

Dùng định lý Pytago tính được ( ) 10 BC cm = ( ) ( )

3,6

6,4

x cm

y cm

=  ⇒ = 

b) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

Dùng định lý Pytago tính được ( ) 74 BC cm = ( )

( )

35 74 74 74

x cm

y cm

=  ⇒  = 

Bài 2: Tính ,x y trong mỗi hình vẽ sau

Lời giải

a) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

( ) ( ) 2 2 . 4 2 5 ; 2 5 AH HB HC AH AH x cm y cm = ⇔ = ⇒ = ⇒ = =

b) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

( ) ( )

2 2 25 25 5 41 . ; 7 4 4 AH AH HB HC HC x cm y cm HB = ⇔ = = ⇒ = =

Bài 3: Tính ,x y trong mỗi hình vẽ sau

Lời giải

y x

4 1 C H B

A

y

x

5

7 C H B

A

y

x

5

10

C H B

A

y

x

32

30

C H B

A

4

a) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

Áp dụng hệ thức về cạnh ta có: 2 '. b b a = , ta được: ( ) 2 9 10 8 8 2 y y = + ⇔ =

Áp dụng hệ thức về cạnh: 2 '. c c a = , ta được: ( )

2 2 9 9 15 15 8 0 2 2 2 2 x x x     = + = ⇔ = >        

b) Áp dụng hệ thức về cạnh: 2 '. c c a = , ta được:

( ) ( )( ) ( ) 2 30 32 18 50 0 18 50 0 y y y y y y = + ⇔ − + = ⇔ = + >

Áp dụng hệ thức về cạnh: 2 '. b b a = , ta được: ( ) ( ) 2 2 2 32 32 18 40 40 0 x x x x = + ⇔ = ⇔ = > .

Bài 4: Tính ,x y trong mỗi hình vẽ sau

Cho ABC ∆ vuông tại A, đường cao

( ) AH H BC ∈

a) Cho biết ( ) ( ) 3 , 5 AB cm BC cm = = . Tính BH

, , CH AC AH

b) Cho biết ( ) ( ) 9 , 16 . BH cm CH cm = = Tính độ

dài các đoạn thẳng , , , AB AC BC AH

Lời giải

a) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

+) 2 9 . 1,8( ) 3,2( ) 5 AB BH BC BH cm CH cm = ⇒ = = ⇒ =

+) 2 2 . 5.3,2 16 4( ) AC CB BC AC AC cm = ⇒ = = ⇒ =

+) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2,4( ) 3 4 9 16 AH cm AH AB AC = + = + = + ⇒ =

b) Xét ABC ∆ vuông tại , A đường cao ( ) AH H BC ∈ , ta có:

15 , 20 , 25 , 12 AB cm AC cm BC cm AH cm = = = =

4

5

3

C H …