Tài liệu Toán 9 chủ đề vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trường hợp 1: Cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 1 1 1 : 0 d y a x b a = + ≠ và ( ) ( ) 2 2 2 2 : 0 d y a x b a = + ≠

Mối quan hệ Kí hiệu Điều kiện

Cắt nhau ( ) ( ) 1 2 d d ∩ 1 2 a a ≠

Song song ( ) ( ) 1 2 / / d d 1 2

1 2

a a

b b

=   ≠ 

Trùng nhau ( ) ( ) 1 2 d d ≡ 1 2

1 2

a a

b b

=   = 

Vuông góc ( ) ( ) 1 2 d d ⊥ 1 2 . 1 a a = −

Trường hợp 2: Cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 : ; ; 0 d a x b y c a b c + = ≠ và

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 : ; ; 0 d a x b y c a b c + = ≠

Mối quan hệ Kí hiệu Điều kiện

Cắt nhau ( ) ( ) 1 2 d d ∩ 1 1

2 2

a b a b ≠

Song song ( ) ( ) 1 2 / / d d 1 1 1

2 2 2

a b c a b c = ≠

Trùng nhau ( ) ( ) 1 2 d d ≡ 1 1 1

2 2 2

a b c a b c = =

Vuông góc ( ) ( ) 1 2 d d ⊥ 1 2 1 2 . . 0 a a b b + =

*) Chú ý: Khi 1 2

1 2

a a

b b

≠   = 

thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại một

điểm trên trục tung có tung độ bằng b (hay 'b ).

2. Đường thẳng đi qua điểm cố định

Giả sử đường thẳng y ax b = + đi qua điểm cố định ( ) 0 0 ; M x y khi đó phương trình: 0 0 y ax b = +

nghiệm đúng với mọi ,a b

3. Ba đường thẳng đồng quy

2

Cho ba đường thẳng: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 : ; : ; : d y a x b d y a x b d y a x b = + = + = +

Gọi M là giao điểm của 1d và 2 d khi đó ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi 3 d cũng đi

qua M .

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách giải: Cho hai đường thẳng: ( ): d y ax b = + và ( ) ( ) ' ' ' , ' 0 d y a x b a a = + ≠

Khi đó ta có:

a) ( ) ( ) ' / / ' '

a a d d b b

=  ⇔≠ 

b) ( ) ( ) ' ' '

a a d d b b

=  ≡ ⇔= 

c) ( ) ( )' ' d d a a ∩ ⇔ ≠

d) ( ) ( )' . ' 1 d d a a ⊥ ⇔ = −

Bài 1: Hãy nhận xét về vị trí tương đối hai đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau

a) : 2 3 d y x = − và ': 2 5 d y x = + b) 2 1 : 3 4 d y x = + và 3 1 ': 2 4 d y x = −

c) : 2 1 d y x = − + và 1 ': 2 2 d y x = − d) :3 1 d y x = −+ và 1 1 ': 3 3 d y x − = +

Lời giải

a) Ta có: / / ' d d vì '; ' a a b b = ≠

b) Ta có: d cắt ' d vì ' a a ≠

c) Ta có: ' d d ⊥ vì . ' 1 a a = −

d) Ta có: ' d d ≡ vì '; ' a a b b = =

Bài 2:

Cho các đường thẳng 1 2 3 4 4 : 3 1, : , : 1 0, : 5 d y x d y x d x y d y x = − = − + + = = + và

5 6 : 3 7, : 3 3 x d y x d y = + = −. Trong các đường thẳng trên, hãy chi ra các cặp đường thẳng

a) Song song b) Vuông góc

3

Lời giải

a) Các cặp đường thẳng song song là: 1 5 2 3 / / ; / / d d d d

b) Các cặp đường thẳng vuông góc là: 2 4 3 4 ; d d d d ⊥ ⊥

Bài 3:

Cho hai thẳng ( ) ( ) : 1 2 2 0 d mx m y m + − − + = và ( ) ( ) ':3 3 1 5 4 0 d mx m y m − + − + = . Tìm m để hai

đường thẳng trên

a) Song song b) Cắt nhau c) Vuông góc

Lời giải

a) Ta có: 2( 2) : ( 1) 1 1 m m d y x m m m − + = + ≠ − − và 3 5 4 1 ': ( ) 3 1 3 1 3 m m d y x m m m + − = − ≠ + +

0

1 3 ' 1 3 1 3 1 / / ' ' 2( 2) (5 4) 3 0 1 3 1 13 11

m

m m m a a m m d d m b b m m m m m m

 =   −   = =  =     − + ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ =    ≠ + − + ≠     ≠    − +   − ≠  

b) ( ) d và ( )' d cắt nhau

0 3 1 1 ' 0;1; ; 1 1 3 1 3 3 3

m m m a a m m m m

≠  − −  ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ⇒ ≠  − + ≠ 

c) ( ) d và ( )' d vuông góc 3 1 . ' 1 . 1 1 3 1 2 m m a a m m m − − ⇔ = −⇔ = −⇔ = − +

Bài 4: Cho thẳng ( ) 2 : 2 1 d y m x m = − + − với m là tham số. Tìm m để:

a) ( ) d song song với ( ) 1 : 2 3 d y x = −

b) ( ) d trùng với ( ) 2 : 2 d y x = −−

c) ( ) d cắt ( ) 3 : 3 2 d y x = − tại điểm có hoành độ 1 x = −

d) ( ) d vuông góc với ( ) 4 4 1 : 5 2 d y x = −

Lời giải

a)

2

1 2 2 / / 2 1 3

m d d m m

 − = ⇔ ⇔ =  −≠− 