Tài liệu Toán 9 chủ đề hệ số góc của đường thẳng y ax + b (a khác 0)

1

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ( ) 0 y ax b a = + ≠

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho đường thẳng ( ) ( ) : 0 d y ax b a = + ≠ cắt trục Ox tại ;0 b A a −       và trục Oy tại ( ) 0; B b

+) Nếu 0 a > thì góc α tạo bởi đường thẳng ( ): d y ax b = + với trục Ox là góc nhọn (

0 0 0 90 α < < ) và được tính theo công thức: ( ) 0 b OB tan a a a b OA a

α = = = = > −

*) Lưu ý: Hệ số góc α càng lớn thì góc càng lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn 0 90

+) Nếu 0 a < thì góc α tạo bởi đường thẳng ( ): d y ax b = + với trục Ox là góc tù ( 0 0 90 180 α < <

) và được tính theo công thức: 0 180 α β = − , với: ( ) 0 b OB tan a a a b OA a

β = = = = − < −

*) Lưu ý: Hệ số góc α càng lớn thì góc càng lớn, nhưng vẫn nhỏ hơn 0 180

*) Nhận xét:

+) Các đường thẳng có cùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau

+) Đường thẳng y ax = và y ax b = + có chung hệ số góc là α

2

Tóm tắt:

Hệ số 0 a > 0 a <

Đồ thị

Công thức ( ) 0 b OB tan a a a b OA a

α = = = = > − ( ) 0 b OB tan a a a b OA a

β = = = = − < −

Chú ý Công thức tìm hệ số góc của đường thẳng ( ) d đi qua hai điểm

( ) ; A B A x x và ( ) ; B B B x y là: B A AB B A

y y k x x − = −

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Cách giải: Sử dụng các kiến thức liên quan đến vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và hệ

số góc của đường thẳng

- Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau

- Đường thẳng ( ) 0 y ax b a = + > tạo với tia Ox một góc α thì a tanα =

Bài 1: Cho đường thẳng y ax b = + . Xác định hệ số góc của ( ) d , biết:

a) ( ) d song song với ( ) 1 : 2 3 0 d x y − − =

b) ( ) d tạo với tia Ox một góc 0 30 α =

c) ( ) d vuông góc với đường thẳng ( ) 2 : 2 3 d y x = − −

d) ( ) d tạo với tia Ox một góc 0 135 α =

e) ( ) d đi qua ( ) 1; 3 P −− và đi qua giao điểm của hai đường thẳng 1 2 : 7, : 4 3 d y x d y x = − = − +

Lời giải

3

a) ( ) 1 : 2 3 0 d x y − − = . Ta có: ( ) ( ) 1 2 / / 2 3

a d d a b

=  ⇔ ⇒ = ≠− 

b) Vì 0 0 0 3 3 30 90 30 3 3 a tan tan a α α = < ⇒ = = = ⇒ =

c) Ta có: ( ) ( ) 2 1 2 d d a ⊥ ⇒ =

d) Vì ( ) 0 0 0 90 180 135 1 a tan α > ⇒ = − − = −

Bài 2: Cho đường thẳng ( ) ( ) : 5 d y m x m = − − . Xác định hệ số góc của ( ) d , biết:

a) ( ) d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3

b) ( ) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Lời giải

a) ( ) d cắt Oy tại điểm có tung độ bằng -2 từ đó tìm được 3 2 m a = ⇒ = −

b) ( ) d cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 từ đó tìm được 10 5 m a = ⇒ =

Bài 3: Tìm hệ số góc của đường thẳng ( ) d , biết rằng:

a) ( ) d đi qua hai điểm ( ) 2;1 M − và ( ) 0;4 N

b) ( ) d đi qua điểm ( ) 1; 3 P −− và đi qua giao điểm của hai đường thẳng ( ) 1 : 7 d y x = − và

( ) 2 : 4 3 d y x = − +

Lời giải

a) Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y ax b = +

Vì ( ) d đi qua hai điểm , M N nên tìm được 3 3 , 4 2 2 a b a = = ⇒ =

b) ( ) 1d cắt ( ) 2 d tại ( ) 2; 5 M − . Vậy ( ) d đi qua hai điểm ( ) 1; 3 P −− và ( ) 2 2; 5 3 M a − ⇒ = −

Bài 4:

Cho đường thẳng ( ) ( ) 2 : 4 1 2 1 d y m m x m = − + + −, với m là tham số. Hãy tìm m để ( ) d có hệ số

góc nhỏ nhất

Lời giải