Tài liệu Toán 9 chủ đề tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

1

TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

*) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau

tại một điểm thì

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo

bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp

điểm

- Đường thẳng đi qua điểm đó và qua tâm đường tròn là đường trung trực của đoạn thẳng nối

hai tiếp điểm

Giả thiết Tiếp tuyến tại A và B của ( ) O cắt nhau tại M ( A và B là tiếp điểm)

Kết luận - MA MB =

-   1 2 M M =

-   1 2 O O =

- MO là trung trực của AB

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là

đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp

đường tròn

- Tâm của đường tròn nôi tiếp tam giác là giao điểm của các

đường phân giác của các góc trong tam giác

Giả thiết - , , AB AC BC là các tiếp tuyến của ( ); , , O H P K là các tiếp điểm

- IH IK IP R = = =

-     1 2 1 2 1 2 ; ; A A B B C C = = =

Kết luận - Đường tròn ( ) O nội tiếp ABC ∆

2 1

2

1 O

B

M

A

O

H

K P

C B

A

2

3. Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh của tam giác và

tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi

là đường tròn bàng tiếp tam giác

- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là

giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài

tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác

góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C )

- Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp tam giác

Giả thiết - , , BC Ax Ay là các tiếp tuyến của ( ); , , O L M N là các tiếp điểm

- OL OM ON R = = =

-     1 2 1 2 1 2 ; ; A A B B C C = = =

Kết luận - Đường tròn ( ) O là đường tròn bàng tiếp ABC ∆

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường

thẳng vuông góc

Cách giải: Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Bài 1:

Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn

( ) O cắt nhau ở A

a. Chứng minh AO là trung trực của đoạn

thẳng BC

b. Vẽ đường kính CD của ( ) O . Chứng minh

/ / BD AO

Lời giải

a) Theo tính chất hia tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB AC =

O

M

B

I

N C

y

x

A

D

A

C B

O

3

A ⇒ thuộc đường trung trực của BC

Lại có: OB OC O = ⇒ thuộc đường trung trực của BC

Vậy AO là đường trung trực của đoạn BC

b) Ta có ; // AO BC DB BC BD AO ⊥ ⊥ ⇒ (đpcm).

Bài 2:

Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn ( ) ; O R vẽ

hai tiếp tuyến , AB AC với đường tròn. Đường

thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N .

Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt

AB tại M

a. Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình

thoi

b. Điểm A cách O một khoảng là bao nhiêu

để MN là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

Lời giải

a) Ta có : // // ON AM AMON AN OM  ⇒◊  

là hình bình hành

Lại có   1 2 A A AMON = ⇒◊ là hình thoi ; MN OA HA HO ⇒ ⊥ =

b) Để MN là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O thì OH R = hay

2 2 2 OA OH R OA R = = ⇒ =

Bài 3:

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB .

Vẽ các tiếp tuyến , Ax By với nửa đường tròn

cùng phía đối với AB . Từ điểm M trên nửa

đường tròn ( M khác , A B) vẽ tiếp tuyến với

nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C

và D

a. Chứng minh rằng: COD AMB ∆ ∆ #

2 1 H

N

M

O

C

B

A

D M

O

C

B A