Tài liệu Toán 9 chủ đề dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

1

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là một tiếp tuyến của

đường tròn nếu nó chỉ có 1 điểm chung với đường tròn đó

2. Các định lí

a) Định lí 1: Nếu một đường thẳng a là tiếp tuyến của một đường

tròn ( ) ; O R thì nó vuông góc với tiếp tuyến đi qua tiếp điểm

b) Định lí 2: Nếu một đường thẳng a đi qua một điểm của đường tròn ( ) ; O R và vuông góc

với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn

3. Các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

a) Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua

điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Giả thiết Đường thẳng a, điểm C thuộc ( ) O

a OC C ⊥ =

Kết luận a là tiếp tuyến của đường tròn ( ) ; O R

b) Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì

đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Giả thiết Đường tròn ( ) ; O R và đường thẳng a

d bằng khoảng cách từ O đến a và

d R =

Kết luận a là tiếp tuyến của đường tròn ( ) ; O R

c) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp

tuyến của đường tròn

B. Bài tập áp dụng và các dạng toán

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Cách giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn ( ) ; O R tại tiếp điểm

C , ta có thể làm theo một trong các cách sau:

O

I

a

2

Cách 1: Chứng minh C nằm trên ( ) O và OC vuông góc với a tại C

Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H và chứng minh OH OC R = =

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến ' a của ( ) O và chứng minh a trùng với ' a

Bài 1:

Cho tam giác ABC ∆ có

6 , 8 , 10 . AB cm AC cm BC cm = = = Vẽ đường tròn

( ) ; B BA . Chứng minh AC là tiếp tuyến của

đường tròn ( ) B

Lời giải

Ta có:  2 2 2 0 0 90 90 BC AB AC BAC BA AC = + ⇒ = = ⇒ ⊥

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) B .

Bài 2:

Cho đường tròn ( ) O và một dây AB . Gọi M

là trung điểm của AB , vẽ bán kính OI đi qua

M . Từ I vẽ đường thẳng / / xy AB. Chứng

minh rằng xy là tiếp tuyến của đường tròn

( ) O .

Lời giải

Xét đường tròn ( ) O , ta có OI AB ⊥ (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuôn góc với

dây)

Mà / / xy AB OI xy xy ⇒ ⊥ ⇒ là tiếp tuyến của đường tròn.

Bài 3:

C B

A

M

O

I y x

B A

3

Từ điểm A ở ngoài đường tròn ( ) ; O R vẽ tiếp

tuyến AB ( B là tiếp điểm), C là điểm trên

đường tròn ( ) O sao cho AC AB =

a) Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của

đường tròn ( ) O

b) D là điểm trên AC . Đường thẳng qua C

vuông góc với OD tại M cắt đường tròn ( ) O

tại E ( E C ≠ ). Chứng minh rằng DE là tiếp

tuyến của đường tròn ( ) O

Lời giải

a) Xét OAC ∆ và OAB ∆ , có: ( ) ( ) ( ) ; : ; OC OB R OA chung AC AB gt OAC OAB ccc = = = ⇒∆ = ∆

  0 90 OCA OBA AC ⇒ = = ⇒ là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

b) ( ) OD EC gt M ⊥ ⇒ là trung điểm của EC (định lí đường kính vuông góc với dây cung)

OD là đường trung trực của đoạn thẳng   0 90 EC DE DC OED OCD ⇒ = ⇒ = = (tính chất đối xứng

trục)

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O .

Bài 4:

Cho ABC ∆ , hai đường cao BD và CE cắt

nhau tại H

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , A D H E cùng

nằm trên một đường tròn đường kính AH

b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh

rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường

kính AH .

Lời giải

a) Gọi O là trung điểm của AH

H E

O D

M C B

A

E

M D

C

O

B

A