Tài liệu Toán 9 chủ đề đường kính và dây của đường tròn

1

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

Định lí 1: Trong các dậy của đường tròn, dây lớn nhất là

đường kính của đường tròn đó

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với

một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua

tâm thì vuông góc với dây ấy.

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng

Cách giải: Sử dụng các kiến thức sau đây

1. Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy

3. Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bài 1:

Cho đường tròn tâm O, hai dây AB và CD

vuông góc với nhau ở M . Biết

18 , 14 , 4 AB cm CD cm MC cm = = = . Hãy tính

khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB và

CD

Lời giải

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD

D

C

B A

B A

K

D

M H

O

2

Ta có: 9 7 OH AB HA HB cm OK CD KD KC cm ⊥ ⇒ = =   ⊥ ⇒ = = 

Mà: 7 4 3 3 KC KM MC KM KC MC cm OH MK cm = + ⇒ = − = − = ⇒ = =

Xét  0 2 2 2 ( 90 ) 3 10( ) OHB H OB OH HB OB OD cm ∆ = ⇒ = + ⇒ = =

Xét  0 2 2 2 ( 90 ) 41( ) OKD K OD OK DK OK cm ∆ = ⇒ = + ⇒ =

Bài 2:

Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và hai

dây AB và AC . Cho biết 5 AB cm = 2 , AC cm =

hãy tính khoảng cách từ O đến mỗi dây

Lời giải

Gọi , OH OK lần lượt là khoảng cách từ O đến , AB AC

- Tính được: ( ) ( ) 11 ; 2 2 2 OH cm OK cm = =

Bài 3:

Cho đường tròn ( ) ; O R có hai dây , AB CD

bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả

sử 2 , 4 . IA cm IB cm = = Tính khoảng cách từ tâm

O đến mỗi dây

Lời giải

Gọi , OH OK lần lượt là khoảng cách từ O đến , AB CD

Ta có: ( ) 1 OH OK cm = =

H

C

B A

O

K

D

C

H I B A

O

3

Bài 4:

Cho đường tròn ( ) O và dây CD. Từ O kẻ tia

vuông góc với CD tại M , cắt ( ) O tại H .

Tính bán kính R của ( ) O biết:

16 , 4 CD cm MH cm = =

Lời giải

Đặt ( ) OH x cm = . Ta có ( )( ) 4 OM x cm = −

- Áp dụng định lý Pytago ta được: ( ) 10 x cm =

Bài 5:

Cho đường tròn tâm ( ) O đường kính

13 AB cm = , dây CD có độ dài 12cm vuông góc

với AB tại H

a. Tính độ dài các đoạn thẳng , HA HB

b. Gọi , M N lần lượt là hình chiếu của H trên

, AC BC . Tính diện tích tứ giác CMHN

Lời giải

a. Ta có 6 AB CD HC HD cm ⊥ ⇒ = =

Xét  2 0 . 36 4 . ( 90 ) 13 9 13

HA HB HA cm CH AH HA ABC C HA HB HB cm HA HB

= =  =   ∆ = ⇒ ⇔ ⇔    + = = + =   

b. Cách 1: Tứ giác CMHN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông )

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

4

D

M

H

C O

12

13

N

C

M

B H A O

4

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 12 13 ( ) 216 13 ( ) 1 1 1 13 18 13 ( ) 13

CMHN

HN cm HN HC HB S cm

HM cm HM HC HA

  = + =    ⇒ ⇒ =     = + =    

Cách 2: Ta có :

2 2 2 6 36 108 216 ; 39 ( ) 13 169 13 13

CHN ABC CHN CMHN ABC

S CH CHN ABC S S S cm S AB     ∆ ∆ ⇒ = = = = ⇒ = ⇒ =         #

Bài 6:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB . Dây

CD cắt AB tại M , biết 4 , 12 MC cm MD cm = = .

 0 30 BMD = . Hãy tính :

a. Khoảng cách từ O đến CD

b. Bán kính của ( ) O

Lời giải

a. Gọi OH là khoảng cách từ O đến CD 8 4 OH CD CH HD MH cm ⇒ ⊥ ⇒ = = ⇒ =

Xét  0 0 4 3 ( 90 ),tan30 ( ) 3 OH MHO H OH cm MH ∆ = = ⇒ =

b. Bán kính của đường tròn ( ) O chính là đoạn OD

Ta đi tính độ dài đoạn thẳng OD dựa vào định lý pytago.

Xét 

2

0 2 2 2 2 2 4 3 4 39 ( 90 ) ( ) 8 ( ) 3 3 OHD H OD OH HD pytago OD OD cm   ∆ = ⇒ = + ⇔ = + ⇒ =      

Bài 7:

Cho đường tròn tâm ( ) ; O R , A và B di động

trên đường tròn ( ) O thỏa mãn  0 120 AOB = . Vẽ

OH AB H ⊥ =

a) Chứng minh H là trung điểm của AB

b) Tính , OH AB và OAB S theo R

c) Tia OH cắt đường tròn ( ) ; O R tại C . Tứ

12

4

D

C

M B A O

H

O

B

C

A