Tài liệu Toán 9 chủ đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1

GIẢI BÀI TOÁN BẲNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. Kiến thức

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho các ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2: Giải hệ phương trình vừa tìm được

Bước 3: Kết luận

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn

- Kết luận bài toán.

B. Các dạng toán

Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số

Cách giải:

- Biểu diễn số có hai chữ số: 10 (0 9) ab a b a = + < ≤

- Biểu diễn số có ba chữ số: 100 10 (0 9) abc a b c a = + + < ≤

- Tổng nghịch đảo hai số ,x y là: 1 1 x y +

Bài 1:

Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được

cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?

Lời giải

Gọi chữ số hàng chục là x (0 9; x x N < ≤ ∈ )

Gọi chữ số hàng đơn vị là y (0 9; y y N < ≤ ∈ )

Vì tổng hai chữ số là 9 nên: 9(1) x y + =

Số cần tìm là: 10 10 xy x y yx y x = + ⇒ = +

Ta có: 1 63 10 63 10 (2) 18 8

x xy yx x y y x xy y

=  + = ⇒ + + = + ⇒ ⇒ =  = 

2

Vậy số cần tìm là 18

Bài 2:

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó bằng 85

Lời giải

Gọi số bé là x ( ; 85) x N x ∈ < .

Gọi số lớn là y ( ; 85) y N y ∈ <

Theo bài ra ta có: 2 2 1 6

7 85

x y x

y x y

+ = =   ⇔   = + =  

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 6 và 7

Bài 3:

Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số

hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị

Lời giải

Gọi số có hai chữ số là: ( , 0; , 9; 11) ab a b a b a b > ≤ + =

11 4

10 (10 ) 27 7

a b a

b a a b b

+ = =   ⇒ ⇔   + − + = =  

Vậy số tự nhiên cần tìm là 47

Bài 4:

Tìm một số tự nhiên có ba chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4, nếu đổi

chỗ các chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số đó giảm 99 đơn vị.

Lời giải

Gọi số cần tìm là: 13 6 4 647 100 40 (100 40 ) 99 7 x y x x y x y y x y + = =   ⇒ ⇔ ⇒   + + − + + = =  

Vậy số tự nhiên cần tìm là 647

Bài 5:

Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị nhỏ hơn chữ số hàng

chục là 2 và tích của hai chữ số đó của nó luôn lớn hơn tổng hai chữ số của nó là 34

Lời giải

3

Gọi chữ số phải tìm là: 2 8 (0 , 9; 0) ( ) 34 6

a b a ab a b a ab a b b

− = =   ≤ ≤ ≠ ⇒ ⇔   − + = =  

Vậy số cần tìm là 86.

Bài 6:

Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho

là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho

Lời giải

Gọi số có hai chữ số là: ( , 0; , ) xy x y x y N ≠ ∈

Số ngược lại là: yx

Theo bài ta có: 63 1

8 99

yx xy x

y yx xy

 − = =   ⇔   = + =  

Vậy số cần tìm là 18

Bài 7:

Trong một phòng học có 1 số bàn, nếp xếp mỗi bàn 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ

ngồi, nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa 1 bàn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bàn và bao nhiêu

học sinh

Lời giải

- Gọi số bàn là x ( ) x Z + ∈

- Gọi số học sinh là ( ) y y Z + ∈

- Nếu xếp mỗi bàn 3 học sinh thì số học sinh là 3x

Còn 6 học sinh không có chỗ nên số học sinh là 3 6 x +

3 6 (1) x y ⇒ + =

- Nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa 1 bàn nên số học sinh là: 4( 1) 4( 1) (2) x x y − ⇒ − =

Từ (1)(2) 10; 36 x y ⇒ = =

Vậy lớp đó có 10 bàn và 36 học sinh