Tài liệu Toán 9 chủ đề giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1

ÔN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

A. Tóm tắt lý thuyết

Xét hệ phương trình: ' ' ' ax by c a x b y c + =   + = 

. Giả sử , ' 0 a a ≠, khi đó để làm mất x , ta nhân phương

trình thứ nhất của hệ với ' a và nhân phương trình thứ hai với a ta được: ' ' ' ' ' ' a ax a by a c aa x ab y ac + =   + = 

, trừ

theo vế hai phương trình của hệ ta được: ( ) ' ' ' ' ba ab y ca ac − = −

Giải phương trình này ta tìm được y , sau đó thay vào hệ ta tìm được x

*) Giải và biện luận hệ phương trình ' ' '

ax by c

a x b y c

+ =   + = 

Bước 1: Tính các định thức ' ' ' ' a b D ab a b a b = = − (gọi là định thức của hệ)

' ' ' ' x c b D cb c b c b = = − (gọi là định thức của x )

' ' ' ' x a c D ac a c a c = = − (gọi là định thức của y )

Bước 2: Biện luận

+ Nếu 0 D ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất

x

y

D x D D y D

=   = 

+ Nếu 0 D = và 0 x D ≠ hoặc 0 y D ≠ thì hệ vô nghiệm

+ Nếu 0 x y D D D = = = thì hệ có vô số nghiệm

*) Ý nghĩa hình học: Giải sử ( ) d là đường thẳng có phương trình ax by c + = và ( )' d có

phương trình ' ' ' a x b y c + = . Khi đó

1) Hệ có nghiệm duy nhất ( ) d ⇔ và ( )' d cắt nhau

2) Hệ vô nghiệm ( ) d ⇔ và ( )' d song song với nhau

3) Hệ có vô số nghiệm ( ) d ⇔ và ( )' d trùng nhau.

2

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

- Nếu hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế với vế

- Nếu hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế với vế

- Nếu không có hệ số của ẩn nào bằng nhau hoặc đối nhau thì ta nhân hai vế của phương trình

với số thích hợp rồi đưa về trường hợp thứ nhất.

Bài 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 3 5

4 3 1

x y

x y − + =   − = − 

b) 2 2

2 4 4

x y

x y

− =   − = 

Lời giải

a) Ta có 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 4 3 1 2 4 2 3 x y x y x y x x y x x y − + = − + = − + = =     ⇔ ⇔ ⇔     − = − = = =    

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 2;3 x y =

b) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được phương trình tương đương

0 0 2 2 2 4 4 0 0 1 2 4 4 2 4 4 2 2 1 2

x x y x y x x y x y x y y x

=  − = − = =     ⇔ ⇔ ⇔     − = − = − = = −    

Do đó hệ phương trình có vô số nghiệm

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 1 1 2 y x = −

Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y tính bởi công thức 1 1 2

x R

y x

∈  = − 

Bài 2:

Giải các hệ phương trình sau

a)

3 1

3 3 5 3

x y

x y

− =  + = 

b) ( 2 1) 2 1 2

3 (1 2) 1 2

x y

x y

 − + = +  − + = − 

Lời giải

3

a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta có hệ phương trình tương đương

3 1 3 3 3

3 3 5 3 3 3 5 3

x y x y

x y x y

  − = − =   ⇔   + = + =    

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới tạo thành, ta được 2 3 6 3 x =

Ta có hệ phương trình

3 3 3 3 3 2 3 6 3 2 3 3 3 5 3 3 3 5 3 3 3 5 3 3

x x x y x

y x y x y x y

=    =  − = =     ⇔ ⇔ ⇔     = − + =  + = + =       

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 2 3 ; 3; 3 x y   =      

.

b)

2 1 ( 2 1) 2 1 2 3( 2 1) 3 2 3 3 2

2 3 (1 2) 1 2 3( 2 1) ( 2 1)

x x y x y

y x y x y

  =  − + = + − + = +    ⇔ ⇔    =  − + = − − − = − −     

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 1; 2 x y =

Bài 3:

Giải các hệ phương trình sau

a) 7 2 3

2 2 7 11

x y

x y

+ = −  − − = 

b) 3 5 4 15 2 7

2 5 8 7 18

x y

x y

 − = −  − + = 

c)

( )

1 2 2 3 2 2

3 1 2 1

x y

x y

 + = +   + − = − 

Lời giải

a) 7 2 3 2 2 7 4 3

2 2 7 11 2 2 7 11

x y x y

x y x y

  + = − + = −   ⇔ ⇒   − − = − − =    

Hệ phương trình vô nghiệm

b)

5 3 5 4 15 2 7 6 35 8 7 15 2 7 7 2 5 8 7 18 2 5 8 7 18 2

x x y x y

x y x y y

=   − = − − = −    ⇔ ⇔    − + = − + = =      

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 7 ; 5; 2 x y   =      