Tài liệu Toán 9 chủ đề giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

1

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Quy tắc thế

- Từ 1 phương trình của hpt đã cho (coi như phương trình thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn

kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn)

- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và

giữ nguyên pt thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã

cho.

2. Giải và biện luận phương trình: 0 ax b + =

- Nếu 0 b a x a − ≠ ⇒ =

- Nếu 0 a ≠ và 0 b ≠ thì phương trình vô nghiệm

- Nếu 0 a = và 0 b = thì phương trình có vô số nghiệm.

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Cách giải: Căn cứ vào quy tắc thế để giải hpt bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế ta làm

như sau

- Từ 1 phương trình của hệ phương trình đã cho (coi như pt thứ nhất), ta biểu diễn 1 ẩn theo

ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được 1 phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).

- Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ phương trình và

giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hpt mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

*) Chú ý: Ta thường chọn phương trình có các hệ số có giá trị tuyệt đối không quá lớn

thường là 1 và -1

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a. 5 4 3 1 x y x y + =   − = − 

b. 2 2

2 4 4

x y

x y

− =   − = 

Lời giải

a) Cách 1: Thế y theo x ở phương trình thứ nhất

2

Ta có ( )

5 5 5 2 4 3 5 1 4 3 1 7 14 3

y x x y y x x x x x y x y

= −  + = = − =     ⇔ ⇔ ⇔     − − = − − = − = =     

Cách 2: Thế x theo y ở phương trình thứ nhất

Ta có ( )

5 5 5 2 4 5 3 1 4 3 1 7 21 3

x y x y x y x y y x y y y

= −  + = = − =     ⇔ ⇔ ⇔     − − = − − = − − = − =     

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 2;3 x y =

b) Cách 1: Ta có ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 0 0

x y x y x y y y x y y

= +  − = = +    ⇔ ⇔    + − = − = =    

Ta thấy rằng 0 0 y = có nghiệm đúng với mọi y R ∈

Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2 2 x y = +

Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y tính bởi công thức 2 2 x y y R = +  ⇔∈ 

Cách 2: Ta có

1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 4 1 4 0 0 2

y x x y y x x y x x x

 = −   − = = −    ⇔ ⇔    − =      − − = =       

Ta thấy rằng 0 0 x = có nghiệm đúng với mọi x R ∈

Do đó hệ phương trình vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 1 1 2 y x = −

Do đó, hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y tính bởi công thức

1 1 2 y x

x R

 = −  ⇔ ∈ 

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau

a. 8 2 10

4 3

x y

x y

− =  − + = 

b. 3 4 2 0 5 2 14 x y x y − + =   + = 

Lời giải

a) Cách 1: Ta có ( ) 8 2 3 4 10 8 2 10 0 16

4 3 3 4 3 4

x x x y x

x y y x y x

 − + = − = =    ⇔ ⇔    − + = = + = +    

3

Ta thấy phương trình 16 Ox = vô nghiệm với mọi x R ∈

Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

Cách 2: Ta có

1 3 0 16 8 2 10 8 2 10 4 4 1 3 4 3 3 4 4 4

y y y x y

x y x y y x

 =    − − = − =      ⇔ ⇔      − + = = −    − =  

Ta thấy phương trình 16 Oy = vô nghiệm với mọi y R ∈

Do đó hệ phương trình vô nghiệm.

b)

4 2 4 2 3 4 2 0 3 4 2 2 3 3 4 2 5 2 14 5 2 14 2 5. 2 14 26 52 3

y x y x y x y x x y x y x y y y y

− = −   − + = − = − = =      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔      − + = + = =        + = =      

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) ; 2;2 x y =

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau

a.

2 3 1 0

x y x y

 =  + −= 

b.

3 2 0 2 2 5 2 3 2

x y

x y y

 + = +  − = 

Lời giải

a) Điều kiện 0; 0 x y ≠ ≠

( )

2 2 3 1 2 0 3 2 0 5 3 1 3 1 1 0 5

x x y y x y y x y x y y x y

  =  =  −+ − = − =     ⇔ ⇔ ⇔     = −+ = −+      = + −=  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 2 3 ; ; 5 5 x y   =    

b)

3 2 0 3 4 0 4 2 2 5 3( ) 4 15 3 2 3 2

x y x y x x y y x y y y

 + =  + = =    ⇔ ⇔    + + − = = −  …