Tài liệu Toán 9 chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn

1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y là phương trình có dạng: ax by c + = (trong đó , , a b c là các

số cho trước 0 a ≠ hoặc 0 b ≠)

- Nếu điểm ( ) 0 0 ; M x y thỏa mãn: 0 0 ax by c + = thì ( ) 0 0 ; M x y là 1 nghiệm của phương trình.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi nghiệm ( ) 0 0 ; x y của phương trình ax by c + =

được biểu diễn

bởi 1 điểm có tọa độ ( ) 0 0 ; x y .

0x : Hoành độ và 0y : Tung độ

2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

- phương trình: 0 0 ax by c + =

luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu

diễn bởi đường thẳng ( ): d ax by c + =

- Nếu 0; 0 a b ≠ = thì phương trình có nghiệm:

c x a y R

=  ∈ 

và đường thẳng song song hoặc trùng

với Oy

- Nếu 0; 0 a b = ≠ thì phương trình có nghiệm:

x R c y b

∈  = 

và đường thẳng song song hoặc trùng

với Ox

- Nếu 0; 0 a b ≠ ≠ thì phương trình có nghiệm:

x R

a c y x b b

∈  −  = + 

hoặc

y R

b c x y a a

∈  − = + 

khi đó đường

thẳng d cắt cả hai trục tọa độ. Đường thẳng d là đồ thị hàm số: a c y x b b − = +

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Xét xem một cặp số có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn hay không?

Cách giải: Nếu cặp số thực ( ) 0 0 ; x y

thỏa mãn 0 0 ax by c + = thì nó được gọi là nghiệm của

phương trình ax by c + =

2

Bài 1:

Trong các cặp số sau ( ) ( ) ( ) ( ) 12;1 ; 1;1 ; 2; 3 ; 1; 2 − − cặp số nào là nghiệm của phương trình bậc nhất

hai ẩn 2 5 19 x y − =

Lời giải

Ta có các cặp số: ( ) ( ) 12;1 ; 2; 3 − là nghiệm của phương trình 2 5 19 x y − =

Còn các cặp số ( ) ( ) 1;1 ; 1; 2 − không là nghiệm của phương trình 2 5 19 x y − =

Bài 2:

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình bậc nhất hai ẩn 1 2 1 m x y m + − = + có một

nghiệm là ( ) 1; 1 −

Lời giải

Vì ( ) 1; 1 − là nghiệm của phương trình nên: 2 1 0 1 1 3 1 ( 1)

m m m m m m

−≥  + = −⇔ ⇔ =  + = − 

Vậy 3 m = là giá trị cần tìm.

Bài 3:

Tìm các giá trị của tham số m để cặp số ( ) 2; 1 − là nghiệm của phương trình 5 3 1 mx y m − = −

Lời giải

Để cặp số ( ) 2; 1 − là nghiệm của phương trình 5 3 1 mx y m − = − ta phải có:

( ) 2 5 1 3 1 6 m m m − − = −⇔ =

Vậy 6 m = là giá trị cần tìm.

Bài 4:

Cho biết ( ) 2;0 và ( ) 1; 2 −− là hai nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Hãy tìm phương

trình bậc nhất hai ẩn đó.

Lời giải

Gọi phương trình cần tìm có dạng: ax by c + =

3

Thay các nghiệm ( ) 2;0 và ( ) 1; 2 −− vào ax by c + = ta được: 2 0 2 2 3 4

c a a b c a b c b c

=  + =   ⇒   −− = −  = 

Chọn 2 4 2 3 4 3 a c x y b =  = ⇒ ⇒ − = = − 

+) Chú ý: Nếu chọn 0 0 0 a c b =  = ⇒ ⇒ = 

loại

+) Nếu 0 c ≠, ta có thể chọn c tùy ý.

4

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng ax by c + =

thỏa mãn điều kiện cho

trước.

Cách giải

- Nếu 0; 0 a b ≠ = thì phương trình có nghiệm:

c x a y R

=  ∈ 

và đường thẳng song song hoặc trùng

với Oy

- Nếu 0; 0 a b = ≠ thì phương trình có nghiệm:

x R

c y b

∈  = 

và đường thẳng song song hoặc trùng

với Ox

+) Đường thẳng ( ): d ax by c + =

đi qua điểm ( ) 0 0 ; M x y

khi và chỉ khi 0 0 ax by c + =

Bài 1:

Cho đường thẳng ( ) d có phương trình: ( 2) (3 1) 6 2 m x m y m − + − = −. Tìm các giá trị của tham số

m để

a) d song song với trục hoành b) d song song với trục tung

c) d đi qua gốc tọa độ d) d đi qua điểm ( ) 1; 1 A −

Lời giải

a. ( ) d song song với Ox

2 0

3 1 0 2

6 2 0

m

m m

m

− =   ⇔ −≠ ⇔ =   − ≠ 

b. ( ) d song song với Oy

2 0

3 1 0

6 2 0

m

m m

m

− ≠   ⇔ −= ⇔ ∈∅   − ≠ 

c. ( ) d đi qua ( ) 0;0 O 1 6 2 0 3 O d m m ⇔ ∈ ⇔ − = ⇔ =

d. ( ) d đi qua ( ) 1; 1 A − 1 ( 2) (3 1) 6 2 . 8 m m m m ⇔ − − − = − ⇔ =