Tài liệu Toán 9 chủ đề liên hệ giữa cung và dây

1

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

A. Lý thuyết

1. Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, ta

có:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Hay:   = ⇔ = AB CD AB CD

2. Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, ta có:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

Hay:   > ⇔ > AB CD AB CD

3. Bổ sung

a) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Ta có:   / / ⇒ = AB CD AC BD

b) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung

điểm của dây căng cung ấy.

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì

đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy

c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với

dây căng cung ấy và ngược lại.

B. Bài tập

Bài 1:

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và

C là điểm chính giữa của nửa đường tròn.

Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các

điểm M và N sao cho  . = CM BN Chứng minh:

B

D

C

A

O

O

C M

N

B A

2

a) = AM CN

b) = = MN CA CB

Lời giải

a) Ta có C là điểm chính giữa nửa đường tròn   ⇒ = AC BC

mà     = ⇒ = ⇒ = CM BN AM CN AM CN

b) Chứng minh được    = = ⇒ MN CA CB = = MN CA CB

Bài 2:

Cho đường tròn (O) đường kính AB và

đường tròn (O’) đường kính AO. Các điểm C,

D thuộc đường tròn (O) sao cho  ∈ B CD và

 . < BC BD Các dây AC và AD cắt đường tròn

(O’) theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF

b) Số đo các cung  AE và  AF của đường tròn

(O’)

Lời giải

a) Ta có: ; / / ⊥ ⊥ ⇒ OE AC BC AC OE BC

Xét ∆ABC có / / , = OE BC AO OB

⇒E là trung điểm của 1 2 ⇒ = AC OE BC

Tương tự: 1 2 = OF BD

Mà < ⇒ < BC BD OE OF

b) Xét tam giác vuông OEA, AFO ta có: 2 2 2 = − AE AO OE và 2 2 2 = − AF AO OF

2 2 ⇒ > ⇒ > ⇒ AE AF AE AF sđ > AE sđ  AF .

O'

E

F

O

D

B

C

A

3

Bài 3:

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên

nửa đường tròn lấy hai điểm C và D. Kẻ CH

vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm

thứ hai E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K,

AK cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ  CF và  DB bằng nhau

b) Hai cung nhỏ  BF và  DE bằng nhau

c) = DE BF

Lời giải

a) Ta có:   / / ⊥ ⇒ ⇒ = ⇒  ⊥ 

DK AK DK BF CF DB BF AK đpcm

b) Từ giả thiết ta có AB là đường trung trực của CE     ⇒ = ⇒ = BC BE BF DE

c) Sử dụng mối liên hệ giữa cung và dây, ta có: = DE BF

Bài 4:

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt

nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các đường kính

AOE, AOF và BOC. Đường thẳng AF cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng

minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng

nhau

Lời giải

+) Dây AB là dây chung của hai đường tròn nên AB căng hai cung nhỏ bằng nhau

 ( )1 → = AmB AnB

Lại có:    ( ) 2 = ⇒ = AOB COE AmB CE

+) Chứng minh được:

C K

F

H O

D

E

B A

n m

F

O' O

A

B E

D

C

4

  0 90 , , = = ⇒ ABE ABF E B F thẳng hàng

+) ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ EAB FAB EB FB BO là đường trung bình của   / / (3) ∆ ⇒ ⇒ = FEA BC AD CD AmB

(Hai cung bị chắn giữa hai dây song song). Từ (1)(2)(3)     ⇒ = = = AmB AnB CE CD .

Bài 5:

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AE. Gọi

B, C, D là ba điểm trên nửa đường tròn, biết

2 ; 3 AC AB AD AB = =    

a. Chứng minh rằng: AB = BC = CD

b. AC = BD

c. Chứng minh cung AD và BC có chung

điểm chính giữa

d. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao

Lời giải

a)          ; 3 2 = − = = − = − = BC AC AB AB CD AD AC AB AB AB    → = = ⇒ = = AB BC CD AB BC CD

c) Gọi M là điểm chính giữa cả cung BC ⇒ = MB MC

Có:

  

      = + → = ⇒  = + 

MA MB AB MA MD dpcm MD MC CD

d. Vì M là điểm chính giữa cung AD và BC : / / ⊥   ⇒ ⇒ ⇒ ⇒   ⊥ =  

OM AD ABCD hinhthang AD BC OM BC BD AC

ABCD là hình thâng cân.

D

C

M

B

A O E