Tài liệu Toán 9 chủ đề góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

1

GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa:

*) Góc  BAx có đỉnh nằm trên đường tròn cạnh Ax là một tia tiếp

tuyến còn cạnh AB chứa dây cung AB , góc  BAx gọi là góc tạo

bởi tiếp tuyến và dây cung

+)  AnB gọi là cung bị chắn

2. Định lý: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn.

Ta có:  1 2 = BAx sđ  AnB

sđ  1 2 = BAx sđ  0 90 AB = sđ  1 2 = BAx sđ  AB sđ  1 2 = BAx sđ  AB

3. Hệ quả: Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng

chắn một cung thì bằng nhau:   1 2 = = ACB BAx sđ  AnB

4. Định lý bổ sung (Bổ đề): Nếu góc  BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa

dây cung AB ), có số đo bằng nửa số đo của cung  AB căng dây đó và cung này nằm bên trong

gó đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

B. Bài tập

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức, các góc bằng nhau

Cách giải: Ta áp dụng các kiến thức sau

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

- Hai góc kề đáy của tam giác cân thì bằng nhau

B

A y x

O B

A y x

O

B

A y x

O

C

B

A x

n

2

- Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau

Bài 1:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( ) O . Qua

A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với ( ) O ( , B C

là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến AMN với ( ) O ( M

nằm giữa A và N )

a) Chứng minh

2 . = AB AM AN

b) Gọi . = ∩ H AO BC Chứng minh

. . = AH AO AM AN

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn ( ) O tại I .

Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác ABC .

Lời giải

a) Ta có   1 2 = = ABM ANB sđ  BM

( ) ⇒∆ ∆  ABM ANB gg

b) Ta có AO là đường trung trực của BC nên ⇒ ⊥ AO BC

Xét tam giác vuông AOB, có: 2 . = AB AH AO

c) Chứng minh được     ( ) : = = ⇒ ABI CBI do BI CI BI là phân giác . ABC mà AO là tia phân giác

của ⇒ BAC I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC .

Bài 2:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O .

Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I

a) Chứng minh

2

2 = IB AB IC AC

b) Tính , IA IC biết rằng 20 AB cm = , 28 AC cm =

I

O

C B

A

M

I H O

N C

B

A

3

24 BC cm =

Lời giải

a) Xét ∆BAI và ∆ACI có: I chung và   = ACB BAI ( ) ⇒∆ ∆  BAI ACI gg

2 2

2 2 ⇒ = ⇒ = AB IB AB IB AC IA AC IA

Mặt khác 2 . = IA IB IC ⇒đpcm.

b) Do ( ) BAI ACI gg ∆ ∆ #

24 5 7 − ⇒ = = ⇒ = = AI BI AB IA IC CI AI CA IC IA

35 ; 49 . ⇒ = = IA cm IC cm

Bài 3:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O .

Tiếp tuyến tại A của ( ) O cắt BC tại P

a) Chứng minh các tam giác PAC và PBA

đồng dạng

b) Chứng minh

2 . = PA PB PC

c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và

( ) O lần lượt tại D và M . Chứng minh

2 . = MB MA MD

Lời giải

a) Ta có ( ) PAB PCA gg ∆ ∆ #

b) Vì ( ) PAB PCA gg ∆ ∆ # 2 . ⇒ = PA PB PC

c) Ta có    = = BAM MAC MBC 1 2 = sđ  BM

( ) 2 . MAB MBD gg MB MA MD ⇒∆ ∆ ⇒ = #

O

P D

M

C B

A

4

Bài 4:

Cho nửa đường tròn ( ) O đường kính AB .

Trên tia đối của tia AB lấy một điểm M . Vẽ

tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, gọi H là

hình chiếu của C trên AB

a. Chứng minh rằng CA là phân giác của

 MCH

b. Giả sử ; 2 . = = MA a MC a Tính AB và CH

theo a ?

Lời giải

a. Ta có:  0 90 = ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

  

     ( . )

1 ( ) 2

 = ⇒ =  = = 

ACH B phu CAB ACH ACM ACM B sd AC

b.

2 2 ( ) . 4 4 3 ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = − =  MA MC MC MAC MCB gg MC MA MB MB a AB a a a MC MB MA

Xét  0 . 2 .1,5 6 ( 90 ) . . 2,5 5 ∆ = ⇒ = ⇒ = = = CM CO a a a COM C CM CO CH OM CH OM a .

Bài 5:

Cho nửa đường tròn ( ) O đường kính AB và

một điểm C trên nửa đường tròn. Qua D trên

đoạn AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB

cắt BC tại F . Tiếp tuyến của nửa đường tròn

tại C cắt đường vuông góc ở D tại I . Gọi E

là giao điểm của AC và DF .

a. So sánh  ; ; IEC ICE ABC

b. EIC ∆ cân

c. IE IC FI = =

1

F

I

C

D O B A

a

2a

M O H A B

C