Tài liệu Toán 9 chủ đề phương trình quy về phương trình bậc hai

1

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

A. Lý thuyết

1. Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

4 2 0 ( 0) ax bx c a + + = ≠

Cách giải: Đặt ẩn phụ ( ) 2 0 t x t = ≥ để đưa phương trình về phương trình bậc hai

2 0( 0) at bt c a + + = ≠

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2

Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận

3. Phương trình đưa về dạng tích

Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có thể thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0

Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm.

B. Bài tập và các dạng toán

I. Phương trình không chứa tham số

Dạng 1: Giải phương trình trùng phương

Cách giải: Xét phương trình trùng phương 4 2 0( 0) ax bx c a + + = ≠

Bước 1: Đặt ( ) 2 0 t x t = ≥ ta được phương trình bậc hai: 2 0( 0) at bt c a + + = ≠

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t từ đó tìm được các nghiệm của phương trình trùng

phương đã cho.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 4 2 5 6 0 x x + −= b) 4 2 20 0 x x + − =

c) ( ) ( ) 4 2 1 5 1 84 0 x x + − + − =

Lời giải

2

a) Đặt ( ) 2 0 , x t t = ≥ phương trình đã cho trở thành ( ) ( )

2 1 5 6 0 6

t TM t t t KTM

=  + − = ⇔= − 

Với 2 2 1 1 1 t x x = ⇒ = ⇔ = ±

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 1 . S = ±

b) Cách 1: Đặt ( ) 2 0 , x t t = ≥ phương trình đã cho trở thành 2 2 20 0 5 4 20 0 t t t t t + − = ⇔ + − − =

( )( ) ( ) ( )

2 5 5 4 0 4 2 4

t KTM t t x x t TM

= −  ⇔ + − = ⇔ ⇒ = ⇔ = ± = 

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 2 . S = ±

Cách 2: Giải trực tiếp

Ta có ( ) ( ) ( )( ) 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 20 0 5 4 20 0 5 4 5 0 5 4 0 x x x x x x x x x x + − = ⇔ + − − = ⇔ + − + = ⇔ + − =

2 4 0 2 x x ⇔ − = ⇔ = ±

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 2 . S = ±

c) Đặt ( ) 2 1 0, x t + = ≥ phương trình đã cho trở thành 2 5 84 0 t t − − = , từ đó 1 2 3 x ⇒ = −±

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 4 2 2 7 5 0 x x + + = b) 4 2 4 8 12 0 x x + − =

Lời giải

a) Đặt ( ) 2 0 , x t t = ≥ phương trình đã cho trở thành

( )

( )

2 1 2 7 5 0 5 2

t KTM t t t KTM

= −   + + = ⇔= − 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Đặt ( ) 2 0 , x t t = ≥ ta có: ( ) ( )

2 1 4 8 12 0 3

t TM t t t KTM

=  + − = ⇔= − 

Với 2 1 1 1 t x x = ⇒ = ⇔ = ±

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 1 S = ± .

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) 4 2 7 5 3 0 16 x x − + = b) 2 2 25 4 29 0 x x − + =

3

Lời giải

a) Đặt

2 2 2 2

2 0,35 0,35 7 ( 0) 5 3 0 80 48 7 0 0,25 16 0.25

y x y x y y y y y y x

 = =  = ≥ ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔  = =  

{ } 0,35; 0,25 x ⇔ ∈± ±

Vậy phương trình có tập nghiệm { } 0,35; 0,25 S = ± ±

b) Điều kiện 0 x ≠

Phương trình (1) 4 2 2 1 1 4 29 25 0 4 29 25 0 6,25 2,5 y x x x y y y x = = ±   ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔   = = ±  

Vậy phương trình có tập nghiệm 5 1; 2 S   = ± ±    

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) 4 2 1 4,5 4 0 2 x x + − = b) 4 2 10(2 2) 2 2 3 0 x x − − − + =

c) 4 2 (3 2 5) 10 7 2 0 x x − − + − = d) 4 2 ( 5 3) (4 5 1) 3 5 4 0 x x − − + + + =

Lời giải

a) Đặt ( ) 2 0 x t t = ≥ , phương trình đã cho trở thành 2 2 1 4,5 4 0 9 8 1 0 2 t t t t + − = ⇔ + −=

Có

( )

( )

1 0 1 9

t KTM a b c t TM

= −   − + = ⇒= 

Với 2 1 1 1 9 9 3 t x x = ⇒ = ⇔ = ±

Vậy phương trình có tập nghiệm 1 3 S   = ±    .

b) Đặt ( ) 2 0 x t t = ≥ , phương trình đã cho trở thành ( ) 2 10 2 2 2 2 3 0 t t − − − + =

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) 4 2 (3 2 5) 10 7 2 0 x x − − + − = b) 4 2 ( 5 3) (4 5 1) 3 5 4 0 x x − − + + + =

Lời giải a) Đặt ( ) 2 0 x t t = ≥ , phương trình đã cho trở thành ( ) 2 3 2 5 10 7 2 0 t t − − + − =