Tài liệu Toán 9 chủ đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng

1

HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG

A. Lý thuyết

1. Hệ thức Viét

Cho phương trình bậc hai 2 0( 0) ax bx c a + + = ≠ . Nếu 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình thì:

1 2 b S x x a − = + = và 1 2 . c P x x a = =

2. Ứng dụng của hệ thức Viét

a) Nhẩm nghiệm

Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠

- Nếu 0 a b c + + = thì phương trình có một nghiệm là 1 1 x = , nghiệm còn lại là 2 c x a =

- Nếu 0 a b c − + = thì phương trình có một nghiệm là 1 1 x = −, nghiệm còn lại là 2 c x a − =

b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình

2 0 X SX P − + = .

c) Xác định dấu của nghiệm

Phương trình 2 0( 0) ax bx c a + + = ≠ có hai nghiệm 1 2 , x x

+ Nếu 1 2 0 c P x x a = = < thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu 1 2 0 c P x x a = = > và 1 2 0 S x x = + > thì phương trình có hai nghiệm dương

+ Nếu 1 2 0 c P x x a = = > và 1 2 0 S x x = + < thì phương trình có hai nghiệm âm

*) Chú ý: Để áp dụng hệ thức Viét phải chú ý đến điều kiện phương trình là phương trình bậc

hai có nghiệm 0

0

a ≠  ∆≥ 

Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Cách giải: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm là 0

0

a ≠  ∆≥ 

2

Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2 1 2 ; . b c S x x P x x a a − = + = = =

Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng 1 2 x x + và tích 1 2 x x

Sau đó áp dụng bước 1

Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là

+) 2 2 2 2 ( ) 2 2 A a b a b ab S P = + = + − = −

+) 2 2 2 ( ) ( ) 4 4 a b a b ab S P − = + − = −

+) 2 2 ( ) 4 4 a b a b ab S P − = + − = −

+) 1 1 a b S a b ab P + + = =

+) 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 a b a b ab a b S SP + = + − + = −

+) 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 a b a b a b S P P + = + − = − −

Bài 1:

Giả sử 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình 2 5 3 0 x x − + = . Không giải phương trình hãy tính

giá trị của các biểu thức sau

a. 2 2 1 2 A x x = + b. 3 3 1 2 B x x = +

c. 4 4 1 2

1 1 C x x = + d. 1 2 D x x = −

Lời giải

Ta có: 13 0 ∆= > ⇒ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x .

Áp dụng hệ thức Viet ta có

1 2

1 2

5

3

x x

x x

+ =   = 

a) Ta có: ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 5 2.3 19 A x x x x x x = + = + − = − =

b) Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 80 B x x x x x x x x = + = + − + =

c) Ta có:

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 4 4 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 1 2 1 2 1 2

2 1 1 343 81

x x x x x x C x x x x x x

+ − + = + = = =

d) Ta có ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 D x x D x x x x x x = − ⇒ = − = + −

3

( ) ( ) 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 13 x x x x D x x x x x x = + − ⇒ = − = + − =

Bài 2:

Cho phương trình 2 3 5 2 0 x x − − − = . Với 1 2 , x x là nghiệm của phương trình, không giải phương

trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

a. 1 2 1 2

1 1 M x x x x = + + + b.

1 2

1 1 3 3 N x x = + + +

c. 1 2 2 2 1 2

3 3 x x P x x − − = + c. 1 2

2 1 2 2 x x Q x x = + + +

Lời giải

Ta có: 25 4.3.2 1 0 ∆= − = > ⇒phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x .

Áp dụng hệ thức Viet ta có 1 2 1 2 5 2 ; 3 3 x x x x − + = =

a) Ta có: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 25 6 M x x x x M x x x x   − = + + + = + + + ⇒ =    

b) Ta có: ( )

1 2

1 2 1 2 1 2

6 1 1 13 3 3 3 9 14 x x N N x x x x x x + + = + = ⇒ = + + + + +

c) Ta có:

( )

2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2

3 3 3 3 49 4 x x x x x x x x P P x x x x

− − − + − − = + = ⇒ =

d) Ta có: ( )

2 2 1 2 1 1 2 2

2 1 1 2 1 2

2 2 17 2 2 2 4 12 x x x x x x Q Q x x x x x x + + + − = + = ⇒ = + + + + +

Bài 3:

Giả sử 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình: 2 5 1 0 x x − −= . Không giải phương trình hãy tính

giá trị của các biểu thức sau

a. 2 2 1 2 1 2 A x x x x = + − − b. 4 4 1 2 B x x = +

c. 3 3 1 2

1 1 C x x = + d. 1 2 D x x = −

Lời giải

a) Ta có 29 0 ∆= > ⇒ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viet, ta có:

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5; . 1 ( ) 2 ( ) 5 2( 1) 5 22 x x x x …