Tài liệu Toán 9 chủ đề công thức nghiệm của phương trình bậc hai

1

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Kiến thức cần nhớ

1. Phương trình bậc hai một ẩn

- Phương trình bậc hai một ẩn (hay còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ , trong đó , , a b c là các số thực cho trước và x là ẩn số.

- Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đó.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ và biệt thức 2 4 . b ac ∆= −

- Trường hợp 1: Nếu 0 ∆< thì phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp 2: Nếu 0 ∆= thì phương trình có nghiệm kép

1 2 . 2 b x x a − = =

- Trường hợp 3: Nếu 0 ∆> thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1,2 . 2 b x a −± ∆ =

3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ với 2 '. b b = Gọi biệt thức 2 ' ' . b ac ∆= −

- Trường hợp 1: Nếu ' 0 ∆< thì phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp 2: Nếu ' 0 ∆= thì phương trình có nghiệm kép: 1 2 '. b x x a − = =

- Trường hợp 3: Nếu ' 0 ∆> thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1,2 ' ' . b x a −± ∆ =

*) Chú ý: Trong trường hợp hệ số b có dạng 2 'b ta nên sử dụng ' ∆ để giải phương trình sẽ

cho lời giải ngắn gọn hơn.

- Nếu ,a c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước

Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích

2

Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải

là một hằng số.

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) 2 5 7 0 x x − = b) 2 3 9 0 x − + =

c) 2 6 5 0 x x − + = d) 2 3 12 1 0 x x + + =

Lời giải

a) Ta có: ( ) 2 7 5 7 0 5 7 0 0; 5 x x x x x   − = ⇔ − = ⇔ ∈   

b) Ta có: ( ) { } 2 2 2 3 9 0 3 9 0 3 3 0 3 x x x x − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈±

c) Ta có: ( )( ) { } 2 6 5 0 1 5 0 1;5 x x x x x − + = ⇔ − − = ⇔ ∈

d) Ta có: ( )

2 2 6 33 3 12 1 0 3 2 11 3 x x x x −± + + = ⇔ + = ⇔ =

Bài 2: Giải các phương trình sau

a) 2 3 7 0 x x − − = b) 2 3 7 0 5 2 x − − =

c) 2 9 0 x x − − = d) 2 3 6 5 0 x x + + =

Lời giải

a) Ta có: ( ) { } 2 3 7 0 3 7 0 0;2 3 x x x x x − − = ⇔− + = ⇔ ∈

b) Ta có: 2 2 2 3 7 35 0 6 35 0 5 2 6 x x x x − − − = ⇔− − = ⇔ = ⇔ ∈∅

c) Ta có: 2 1 37 9 0 2 x x x   ±   − − = ⇔ ∈     

d) Ta có: ( ) 2 2 2 5 3 6 5 0 3 2 0 3 1 2 0 3 x x x x x   + + = ⇔ + + = ⇔ + + =     (vô lý).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) 2 2 2 0 x x + = b) ( ) 2 2 2 5 0 m x + − = với m∈

3

c)

2 1 2 0,25 0 2 x   − − =     d) 2 3 2 0 x x − + =

Lời giải

a) Ta có ( ) 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2

x x x x x x

=  + = ⇔ + = ⇔= 

Vậy tập nghiệm của phương trình là { } 0;2 2 S =

b) Ta có ( ) 2 2 2 2 2 5 5 2 5 0 2 2 m x x x m m + − = ⇔ = ⇔ = ± + + (vì 2 2 0 m + > )

Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 2 5 5 ; 2 2 S m m

    = −   + +    

c) Ta có

2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 0,25 0 2 0,25 2 2 1 1 2 2 2 2 0 2 2 2

x x x x x x x

 − =   =      − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔            = − = −  

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 ;0 2 S   =    

d) Ta có ( )( ) 2 2 1 3 2 0 2 2 0 1 2 0 2 x x x x x x x x x =  − + = ⇔ − − + = ⇔ − − = ⇔= 

Vậy tập nghiệm của phương trình là { } 1;2 S = .

Bài 4:

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2 2 4 4 0 x m x m + + = có nghiệm 1 x =

Lời giải

Thay 1 x = vào phương trình ta có: 2 2 4.1 .1 4 0 2 m m m + + = ⇔ = −.

Vậy 2 m = −

Bài 5:

Cho phương trình 2 2 4 10 0. mx x m − − = Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có

nghiệm 2 x =

Lời giải

Thay 2 x = vào phương trình ta được: 2 2 2 4 11 4 .2 2 10 0 10 16 2 0 . 5 m m m m m ± − − = ⇔− + − = ⇔ =