Chuyên đề căn bậc hai và căn bậc ba - Diệp Tuân

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài 1. Căn Bậc Hai Số Học

1 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

1 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. Căn bậc hai số học.

1. Định nghĩa: Với số dương a , số a được gọi là căn bậc hai số học của a . 2. Tính chất:

Tính chất 1. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0 . Tính chất 2. Với a 0  , ta có:

2 0 x a x

x a

     

Nhận xét. Đây gọi là phương pháp bình phương hai vế.

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 3 12. x 

Lời giải ĐKXĐ: 0. x 

Ta có : 2 3 12 3 6 3 36 12 x x x x        ( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 2. Tính tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức 2 25 13. x   Lời giải

Ta có : 2 25 13 x   2 25 169 x   

2 169 25 x    2 144 x   12. x  

Vậy tổng các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức đã cho là   12 12 0    .

Tính chất 3. Với 0 a  : 2 x a x a    .

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a). 2 5 80 x  b). 2 3 0,75. x 

Lời giải a). 2 5 80 x 

Ta có 2 2 5 80 16. x x   

Do đó 16 4. x  

b). 2 3 0,75. x 

Ta có 2 2 3 0,75 0,25. x x   

Do đó 0,25 0,5. x  

Tính chất 4. Với

2 0 x a khi x a    .

Ví dụ 4. Tìm số x không âm, biết

a). 1 5 10. 2 x  b). 3 6 x 

Lời giải

§BÀI 1. CĂN BẬC HAI

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài 1. Căn Bậc Hai Số Học

2 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

a). 1 5 10. 2 x 

Với 0 x  ta có : 1 5 10 5 20 2 x x   

5 400 80. x x    

Vậy 0 80. x  

b). 3 6 x 

Với 0 x  ta có : 3 6 3 36 x x   

12. x  

Vậy 0 12. x  

II. Căn bậc hai. 1. Định nghĩa: Căn bậc hai của số không âm a là số x sao cho 2 . x a 

2. Tính chất:

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là . a  Ví dụ 5. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của:

a). 121. b).

2 2 5       

Lời giải a) Ta có 121 11  vì 11 0  và 2 11 121. 

Do đó số 121 có hai căn bậc hai là 11 và 11  .

b) Ta có

2 2 2 5 5        

vì 2 0 5  và

2 2 2 2 . 5 5             

Do đó số

2 2 5       

có hai căn bậc hai là 2

5

và 2 5  .

III. So sánh các căn bậc hai số học

Với 0; 0 a b   . Ta có a b a b    .

Ví dụ 6. Không dung máy tính hoặc bảng số , hãy so sánh 8 và 65. Lời giải Cách 1: Ta có 8 64  .

Vì 64 65  nên 8 65  .

Cách 2: Vì  

2 28 64; 65 65  

Nên  

2 28 65  , suy ra 8 65. 

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học AMSTERDAM Chương I-Bài 1. Căn Bậc Hai Số Học

3 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

Cách giải này dựa vào tính chất: Nếu 0, 0 a b   và 2 2 a b  thì a b  .

Như vậy, để so sánh hai số dương ta có thể so sánh các bình phương của chúng.

Ví dụ 7. Không dung máy tính hoặc bảng số , hãy so sánh 15 1  và 10. Lời giải Ta có 15 16 15 16     15 1 16 1 4 1 3    .

10 9 3  

Vậy 15 1 10. 

Ví dụ 8. Với 0 a  thì số nào lớn hơn trong hai số a  và 2a  ? Lời giải Ta có 1 2  nên 2 a a  (vì 0 a  ).

Do đó 2 a a    .

B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG 1. TÌM CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA MỘT SỐ

1. Phương pháp.

Căn bậc hai số học của số dương a là a ( giá trị dương của căn bậc hai). Với 0 a  , ta có:  Nếu x a  thì 0 x  và 2 . x a   Nếu 0 x  và 2x a  thì x a  . ⋆⋆Nhận xét.

Nếu 0 a  thì các căn bậc hai của a là a  ; căn bậc hai số học của a là a . Nếu 0 a  thì căn bậc hai của a và căn bậc hai số học của a cùng bằng 0. Nếu 0 a  thì a không có căn bậc hai và do đó không có căn bậc hai hai số học.

2. Bài tập minh họa.

Bài tập 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 64;81;100;196.

Lời giải Ta có: 2 8 64  nên 8 là căn bậc hai số học của 64 .

Từ đó suy ra căn bậc hai của 64 là 8 và 8 .

Tương tự căn bậc hai của 64;81;100;196 lần lượt là : 8;9;10;14

Bài tập 2. Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba): a) 2 4,5 x  . b) 2 5 x  . c) 2 7,5 x  . d) 2 9,12 x  .

Lời giải a) Nghiệm của phương trình 2x a  ( với 0 a  …