Chuyên đề quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

BÀI 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,

ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phân biệt được đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu.

+ Phát biểu được quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

trong bài tập.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí 1: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một

điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường

vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một

đường thẳng đến đường thẳng đó

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau

và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên

bằng nhau.

Trong hình vẽ

, . AH a AH AB AH AC    

Trong hình vẽ

, . AH a HC HB AC AB    

, . AH a AC AB HC HB    

. AB AC HB HC   

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu

Phương pháp giải

- Định lí: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm

nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó

thì

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn

hơn.

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn

hơn.

- Thực hiện theo hai bước

Bước 1. Xác định xem hai đoạn thẳng cần so sánh

là đường xiên hay hình chiếu của đường xiên lên

đường thẳng.

Ví dụ: Cho tam giác ABC  , AB AC  đường cao

AH. So sánh HB và HC.

Hướng dẫn giải

Ta có AH BC  nên AH là đường vuông góc còn

AB và AC là các đường xiên và BH, CH tương ứng

là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng BC.

Trang 3

+ Nếu là đường xiên thì cần so sánh hai hình

chiếu của chúng (dựa vào giả thiết bài toán).

+ Nếu là hình chiếu của hai đường xiên thì cần

so sánh hai đường xiên (dựa vào giả thiết bài toán).

Bước 2. So sánh hai đoạn thẳng dựa vào định lí

đường xiên – hình chiếu.

Vì AB AC  nên . HB HC 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC  , AB AC  đường

cao AH. Gọi M là điểm tùy ý trên đoạn thẳng AH.

Chứng minh . MB MC 

Hướng dẫn giải

Ta có BH, CH tương ứng là hình chiếu của hai đường xiên AB, AC trên đường thẳng BC.

Vì AB AC  nên . BH CH 

Mặt khác BH, CH tương ứng là hình chiếu của hai đường xiên BM, CM lên đường thẳng BC.

Do BH CH  nên . BM CM 

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy hai điểm D, E sao cho . AD DE EB   Chứng

minh rằng . CA CD CE CB   

Hướng dẫn giải

Xét trên cạnh AB, ta có . AD DE EB AD AE AB     

Vì CA AB  nên AD, AE, AB tương ứng là hình chiếu của các đường xiên CD, CE, CB lên đường thẳng

AB.

Do AD AE AB   nên  . 1 CD CE CB  

Trang 4

Mặt khác CA CD  (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).  2

Từ  1 và  2 suy ra . CA CD CE CB   

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho tam giác ABC có , AB AC  kẻ AH vuông góc với BC  . H BC  So sánh BH và CH.

Câu 2: Cho tam giác ABC  , AB AC  đường cao AH, . H BC  Lấy điểm K bất kì thuộc AH  . K H 

a) Chứng minh rằng . HB HC 

b) . BK CK 

Dạng 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: “Đường vuông góc ngắn hơn mọi

đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường

thẳng”.

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường cao AD

vuông góc với BC  . D BC 

Chứng minh rằng . 2 AB AC AD  

Hướng dẫn giải

Ta có AD BC  nên AD là đường vuông góc; AB,

AC là các đường xiên.

Suy ra AD AB

AD AC

    

(đường vuông góc nhỏ hơn

đường xiên).

Do đó . 2 AB AC AD  