Chuyên đề tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI 7: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được định lí thuận và đảo về tính chất các điểm thuộc đường trung trực.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được các định lí để giải toán.

+ Ứng dụng trong một số bài toán thực tế.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí 1

, d AB HA HB   .

M d MA MB    .

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều

hai mút của đoạn thẳng đó.

Định lí 2

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường

trung trực của đoạn thẳng đó.

MA MB M   thuộc đường trung trực của AB.

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là

đường trung trực của đoạn thẳng đó.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Vận dụng tính chất của đường trung trực

Phương pháp giải

Sử dụng định lí 1:

“Điểm nằm trên đường trung trực của

một đoạn thẳng thì cách đều hai mút

của đoạn thẳng đó”.

Ví dụ: Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của

đoạn thẳng CD.

Chứng minh CAB DAB   .

Hướng dẫn giải

Vì A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD (giả

thiết).

AC AD BC BD     

(tính chất đường trung trực của một đoạn

thẳng).

Xét CAB  và DAB  có

chung

AC AD

BC BD CAB DAB AB

       

(c.c.c)

Ví dụ mẫu

Trang 3

Ví dụ. Cho góc vuông  xOy . Trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B (không trùng với O). Đường

trung trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở H.

a) Chứng minh rằng A, H, B thẳng hàng.

b) Chứng minh H là trung điểm của AB.

Hướng dẫn giải

a) Ta có H thuộc trung trực của OA, OB

, HA HO HB AHO BHO      cân tại H

 

 

o

o 180 2

180 2

AHO AOH

BHO BOH

    

  

(tổng ba góc trong tam giác)

   AHB AHO BHO      o o 180 2 180 2 AOH BOH    

    o 360 2 AOH BOH   

 o o o o 360 2 360 2.90 180 AOB      .

Vậy A, H, B thẳng hàng.

b) Từ kết quả câu a) có HA HB  và ba điểm A, H, B thẳng hàng nên H là trung điểm của AB.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho MNP  vuông tại M có  o 30 P  . Trên tia đối của tia MP lấy điểm Q sao cho MQ MP  .

Tính số đo  NQM .

Đáp án

Ta có MQ MP  (giả thiết)

M  là trung điểm của PQ. (1)

Lại có MNP  vuông tại M

NM MP   hay NM PQ  . (2)

Từ (1), (2) suy ra NM là trung trực của PQ NQ NP   (tính chất đường trung trực)

NQP  cân tại N (định nghĩa tam giác cân).     o 30 NQM NQP NPQ NPM      .

Câu 2: Cho  o 40 xOy  . Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm

B. Lấy điểm C sao cho OB là đường trung trực của AC.

a) Chứng minh OAB OCB   .

b) Tính số đó  AOC .

Đáp án

a) Ta có OB là đường trung trực của AC (giả thiết)

, OA OC BA BC    (tính chất đường trung trực của một

đoạn thẳng).

Trang 4

Xét OAB  và OCB  có

, OA OC BA BC   (chứng minh trên); OB cạnh chung.

Do đó OAB OCB   (c.c.c)

b) Từ câu a) suy ra   o 40 AOB BOC    o 80 AOC   .

Câu 3: Cho ABC  vuông tại A có  o 60 C  . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC AD  .

a) Chứng minh BCD  là tam giác đều.

b) Biết 2 3 BC  . Tính độ dài các cạnh AB, AC.

Đáp án

a) Ta có AC AD  (giả thiết).

Mà BA DC  ( ABC  vuông tại A) nên AB là đường trung trực của DC

BD BC   (tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng).

BCD  cân tại B.

Mặt khác  o 60 C  (giả thiết) BCD  đều.

b) Ta có BCD  đều (chứng minh trên)

2 3 3 2 CD CD BC CA       .

Xét ABC  vuông tại A, ta có

2 2 2 AB AC BC   (định lý Pi-ta-go)

   

2 2 2 2 2 3 3 12 3 9 3 AB BC AC         .

Dạng 2: Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường

trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp giải

- Để chứng minh điểm M thuộc đường

trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùng định

lí 2: “Điểm cách đều hai mút của một đoạn

thẳng thì nằm trên đường trung trực của

đoạn thẳng đó” hoặc dùng định nghĩa

đường trung trực.

- Để chứng minh đường thẳng d là đường

trung trực của đoạn thẳng AB, ta chứng

minh d chứa hai điểm cách đều A và B,

hoặc dùng định nghĩa đường trung …