Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9

Ngày thi 11/01/2023 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I. (2 điểm)

1) Cho 23

31 12 3 x = +

. Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 5 20 27 30 4 21 x x x x P x x + − − + = + −

2) Cho , , 0 a b c > thỏa mãn 2 1 a b c abc + + + = . Chứng minh rằng

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 a b c b c a c a b abc − − + − − + − − − =

Câu II. (2 điểm)

1) Giải phương trình 3 2 1 3 1 x x x x + − + = +

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 3

1 2 1 2 2 4 7

xy x y

x x y y

+ − =  + =  − + + + 

Câu III. (2 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 3 3 2 2 3 1 0 x y y y − − − −=

2) Tìm số nguyên tố p để 2 2041 p − không chia hết cho 24

Câu IV. (3 điểm)

1) Cho đường tròn ( ) O đường kính AB, qua A và B lần lượt vẽ các tiếp tuyến 1d

và 2 d với ( ) O . Từ điểm M bất kỳ trên ( ) O vẽ tiếp tuyến với đường tròn, cắt 1d tại

C và cắt 2 d tại D. Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh rằng: AD, BC, MH đồng quy tại trung điểm của MH.

b) Đường tròn ( )' O đường kính CD cắt đường tròn ( ) O tại E và F (E thuộc cung  AM ). Chứng minh EF đi qua trung điểm của MH 2) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Điểm M di động trên đoạn BC. Vẽ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn EF theo a. Câu V. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thõa mãn 1. xyz = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 4 4 x y y z z x P xy x yz y zx z + + + + + + + + + = + + + + + + + +

------------------Hết------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

ĐỀ CHÍNH THỨC

DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH TOÁN 9 SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG 2022 - 2023 Câu Ý Nội dung Điểm

I

1

Cho 23

31 12 3 x = +

. Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 5 20 27 30 4 21 x x x x P x x + − − + = + −

1.0

( )

( )

2 23 3 3 2 23 23 23 3 3 2 23 3 3 2 31 12 3 3 3 2 x − = = = = = − + + +

0.25

2 2 2 3 3 4 4 27 4 23 0 x x x x x ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + − = 0.25

4 3 2

2 5 20 27 30 4 21 x x x x P x x + − − + = + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 4 23 4 23 4 23 7

4 23 2

x x x x x x x x P x x

+ − + + − − + − + = + − +

( )( ) ( )

2 2

2 4 23 1 7

4 23 2

x x x x P x x

+ − + − + = + − +

0.25

( ) 2 0 1 7 7 0 2 2

x x P ⋅ + − + = = + 0.25

2

Cho , , 0 a b c > thỏa mãn 2 1. a b c abc + + + = Chứng minh rằng

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 a b c b c a c a b abc − − + − − + − − − = 1.0

Do , , 0 a b c > và 2 1 a b c abc + + + = ( )( ) 2 1 1 1 a abc bc b c bc b c ⇒ + + = − −+ = − − 0.25

( )( ) ( )

2 2 1 1 2 a b c a a abc abc a abc a abc ⇒ − − = + + = + = + 0.25

Tương tự:

( )( ) 1 1 b c a b abc ⇒ − − = + ;

( )( ) 1 1 c a b c abc − − = +

0.25

Do đó:

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

2 1

a b c b c a c a b abc

a b c abc

− − + − − + − − −

= + + + =

0.25

II 1 Giải phương trình 3 2 1 3 1 x x x x + − + = + 1.0

Điều kiện: 1 3 x ≥−

3 2 3 2 1 3 1 2 ( 1) 3 1 0 x x x x x x x x x + − + = + ⇔ + − + + − + =

0.25

( ) ( ) 2

3 2 1 3 1 2 0 1 3 1

x x x x x x x

+ − + ⇔ + − + = + + + 0.25

( )( )

2 2 2 0 1 3 1 x x x x x x x − ⇔ − + + = + + + 0.25