Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Kim Thành - Hải Dương

UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề) (Đề bài gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm).

a) Cho M =

2 2

2 5 1

5 5 1

x x x

x x x

+ −+

−+ −

. Rút gọn và tính giá trị của M khi 1 2 x = −−

b) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 14 a b c + + = và 6 a b c + + = .

Chứng minh rằng: 22 11 11 11 ( 11)( 11)( 11) a b c a b c a b c + + = + + + + + +

Câu 2. (2,0 điểm).

a) Giải phương trình: ( ) 2 1 1 1 x x x x x x + − = + −

b) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 3 4

12 6 +9

x y x

x x y x

 + + =  + + = 

.

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Cho a, b, c, k là các số tự nhiên thỏa mãn:

3 3 3 2 2 1 a b c a b c k k + + = + + + − + . Chứng minh rằng 1 k − chia hết cho 3. b) Tìm x, y nguyên biết: 2 2 7 4 12 5 0 x y xy x + + + + =

Câu 4: (3 điểm).

1) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Các đường phân giác của góc BAH, CAH cắt BC lần lượt tại E, F.

a) Chứng minh: 2 2 . . BC EH CH BE = và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC .

b) Kí hiệu 1 2 , d d lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại E, F. Chứng minh

rằng 1 2 , d d tiếp xúc với đường tròn nội tiếp ∆ABC .

2) Cho tam giác ABC. Gọi , , A B C l l l lần lượt là độ dài các đường phân giác trong của

góc A, B, C. Chứng minh rằng 2 .cos 2 A bc A l b c = + và 1 1 1 1 1 1

A B C l l l a b c + + > + +

Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 9 + + = x y z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3 3 3

9 9 9 + + + = + + + + + x y y z z x M xy yz xz

---------------HẾT----------------

Họ và tên học sinh................................................Số báo danh.....................................

Chữ kí của giám thị 1.................................... Chữ kí của giám thị 2............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022- 2023 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1

A

2

2 ( 1) 5 1

5( 1) 1

x x x M x x x

+ + − = − + −

(ĐK: x>1 hoặc 1 x ≤−)

0.25

x >1 => 1( 1 5 1) 1 1(5 1 1) 1 x x x x x M x x x x x + + + − + = = − −+ + −

0.25

1 x ≤− 1( 1 5 1) 1 1( 5 1 1) 1 x x x x x M x x x x x − − − − −+ − + −− ⇒ = = − −+ − −+ + −− −+

0.25

khi x = -1- 2 < -1 => M = 1 1 x x −− −−+ = 2 2(2 2) 2 1 2 2 2

− − = − = − − +

0,25 b

Ta có

( ) 6 2 36

11

a b c a b c ab bc ca

ab bc ca

+ + = ⇔ + + + + + =

⇔ + + =

0,25

Do đó: ( )( ) 11 a a ab bc ca a b a c + = + + + = + + Tươngtự ta có:

( )( ) 11 b b ab bc ca b c b a + = + + + = + +

( )( ) 11 c c ab bc ca c a c b + = + + + = + +

0,25

Suy ra:

( )( ) ( )( ) ( )( ) 11 11 11 a b c a b c a b c a b a c b c b a c a c b + + = + + + + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a c c b b a b a c a c b c b a + + + + + + + + =

0,25

( ) 2

( 11)( 11)( 11)

ab bc ca

a b c

+ + = + + +

22 ( 11)( 11)( 11) a b c = + + +

0,25

2

a

Điều kiện xác định 0 1 x ≤ ≤ Phương trình đã cho ( ) ( ) 2 1 1 1 x x x x x x x x ⇔ + + − − = + −

( )( ) 1 0 a b ab ⇔ − + =

0.25

Đặt ( 0) x a a = ≥ ( ) 1 0 x b b − = ≥ khi đó 2 1 x b = −

Ta có phương trình 2( ) ( ) 2 1 b a a b ab a b − + + = +

0.25

Vì 1 0 ab + > nên a = b Khi đó ta được phương trình 1 x x = −

0.25