Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2023 - 2024 trường THCS Nguyễn Trường Tộ - Hà Nội

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ

TỔ TN1 - NHÓM TOÁN 9

ĐỀ THI HỌC KỲ 2

Môn Toán – Lớp 9

Ngày thi: 05/04/2024

Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 1 1 2 ; : 2 1

x x x x P Q x x x x x

  + + +   = = +   − + +   với 0, 4. x x > ≠

1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.

2) Rút gọn biểu thức . Q A P =

3) Tìm x nguyên lớn nhất để 3 . 4 A <

Bài 2. (2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình

3 1 4 1 2 2 3 5 1 2

x y

x y

 + =  + −   + =  + − 

2) Cho parabol (P): 2 y x = và đường thẳng (d): 2 2 1 y mx m m = − + +

a) Với m = 3, xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P).

b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x sao cho

1 2 4. x x − =

Bài 3. (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Một công nhân được

giao khoán sản xuất 120 sản phẩm trong thời gian nhất định. Trên thực tế, nhờ hợp lí hóa một

số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3 sản phẩm nữa. Nhờ đó người công nhân hoàn

thành công việc sớm hơn 2 giờ. Hỏi mỗi giờ người đó dự định làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 4. (3,5 điểm). Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C, D. Lấy điểm M bất kỳ

trên d sao cho MC > MD và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA,

MB với đường tròn (O); A, B là các tiếp điểm. Gọi H là trung điểm CD. Chứng minh:

a) Năm điểm A, B, M, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh 2 . MA MC MD = và HM là tia phân giác của . AHB

c) Vẽ DK // AM (K ) AB ∈ . Chứng minh HK// AC.

Bài 5. (0,5 điểm). Cho x, y là những số thực thoả mãn điều kiện 2 2 1 x y + = , tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức . 2

x P

y = +

--------------------------------------Hết--------------------------------------

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Nội dung Điểm

I

1 Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9. 0,5

Với x = 9 (tmđk), ta có 9 9 1 13 9 2 P + + = = − 0,5

2 Rút gọn biểu thức Q. 1,0

1 2 1 2 : : 1

x x x x x Q

x x x x x x x x

  + + + +   = + =   + + + +   0,25

1. 2

x x Q

x

+ + = + 0,50

1 1 2 . : 2 2 2

Q x x x x x A P x x x

+ + + + − = = = + − +

0,25

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 0,50

Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 4 2 3 2 4 4 2

x A x x x

− <  < ⇔ − < + +

(do 0, 0, 2 0 x x x ≥ ≥ + > ). Suy ra 14 196. x x <  <

0,25

Từ đó tìm được 195 x = (tmđk). 0,25

II

1 Giải hệ phương trình 1,00

Điều kiện: 1; 2. x y ≠− ≠

Đặt 1 1 ; 1 2 a b x y = = + − , hệ trở thành 3 4

2 3 5

a b

a b

 + =  + =  0,25

Giải hệ tìm được 1; 1. a b = = 0,25

1 1 1 0 1 a x x =  = ⇔ = + (tmđk). 0,25

1 1 1 3 2 b y y =  = ⇔ = − (tmđk).

Vậy hệ có nghiệm 0, 3. x y = = 0,25

2a Với m = 3, xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P). 0,75

Với m = 3, (d): 6 5. y x = −

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 6 5 x x = −

2 1 6 5 0 . 5

x x x x

 = ⇔ − + = ⇔ =  0,50

Với 1 1; x y =  = Với 5 25. x y =  =

Vậy giao điểm của (d) và (P) là (1; 1) và ( ) 5; 25 . 0,25

2b

Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2 , x x sao cho 1 2 4. x x − = 0,75

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): 2 2 2 1 x mx m m = − + + 0,25