Đề học kì 2 Toán 9 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Thanh Trì - Hà Nội

UBND HUYỆN THANH TRÌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày 15 tháng 4 năm 2024 Bài I (2 điểm). Cho hai biểu thức:

2 3 x A x − = và 4 1 2 1 1 1 1 x x B x x x − + = + − − + − (với 0, 1 x x > ≠)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.

2) Chứng minh rằng: B = √𝑥𝑥

√𝑥𝑥+1 .

3) Đặt M = A.B. Tìm tất cả các giá trị x thoả mãn: √1 −2𝑀𝑀2 = √1 −2𝑀𝑀. Bài II (2,5 điểm)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu của mảnh đất.

2) Một lon nước ngọt hình trụ có đường kính đáy là 5,5 cm, chiều cao là 13cm. Hỏi lon nước đó chứa được bao nhiêu ml nước ngọt (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, lấy 𝜋𝜋≈3,14)

Bài III (2 điểm).

1) Giải phương trình: 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 −30 = 0 2) Cho phương trình ẩn x: 𝑥𝑥2 + (𝑚𝑚+ 2)𝑥𝑥+ 2𝑚𝑚= 0 (1) (m là tham số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi m. b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 sao cho 2.𝑥𝑥1 + 3. 𝑥𝑥2 = 1 Bài IV (3 điểm).

Cho ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), biết AB < AC. Các đường cao BM, CN của ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 cắt nhau tại H (M∈𝐴𝐴𝐴𝐴; 𝑁𝑁∈𝐴𝐴𝐴𝐴). Gọi P là giao điểm của MN và CB. Đường thẳng AP cắt (O) tại K (K khác A).

1) Chứng minh: Tứ giác BNMC nội tiếp. 2) Chứng minh: PB.PC = PN. PM và ∆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 đồng dạng 𝑣𝑣ớ𝑖𝑖 ∆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃. 3) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: Ba điểm K, H, I thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm).

Cho 2 số thực không âm x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (4𝑥𝑥2 + 3𝑦𝑦). (4𝑦𝑦2 + 3𝑥𝑥) + 25𝑥𝑥𝑥𝑥.

--------------------Hết---------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KÌ II

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN TOÁN - LỚP 9 Bài Nội dung Điểm I.1 Thay x = 36 (TMĐKXĐ) vào biểu thức A, ta có: A = 3/2 Vậy khi x=36 thì A = 3/2

0.25 0.25

I.2 B = 𝑥𝑥−4√𝑥𝑥+1

𝑥𝑥−1 + 2

√𝑥𝑥+1 − 1

1−√𝑥𝑥 (với 0, 1 x x > ≠)

B = 𝑥𝑥−4√𝑥𝑥+1

𝑥𝑥−1 + 2

√𝑥𝑥+1 + 1

√𝑥𝑥−1 0.25

B = 𝑥𝑥−4√𝑥𝑥+1+2൫√𝑥𝑥−1൯+√𝑥𝑥+1

𝑥𝑥−1 0.25

( )( ) 1 1

x x

x x

− = + −

0.25

1 x x = + (đpcm) 0.25

I.3 M = A.B = 2√𝑥𝑥−3

√𝑥𝑥+1 ĐKXĐ: ൜1 −2𝑀𝑀2 ≥0

1 −2𝑀𝑀≥0

Tìm được M = 0 (tmđk); M = 1 (loại) Giải M = 0 được x = 9/4 (tmđkxđ)

0.25 0.25

II.1 Gọi chiều dài mảnh đất HCN là x (m) ( 1 x y > > ) Gọi chiều rộng mảnh đất HCN là y (m)

0.25 Lập luận để có phương trình: x – y = 3 (1) 0.25 Chiều dài mảnh đất mới là : x + 2 (m) Chiều rộng mảnh đất mới là: y – 1 (m) Diện tích mảnh đất mới là: (x+2)(y-1) (𝑚𝑚2) Diện tích mảnh đất ban đầu là: x.y (𝑚𝑚2) Lập luận để có phương trình: (x+2).(y-1)=x.y  -x+2y = 2 (2)

0.25 0.25 0.25

Giải hệ pt Được x = 8 và y = 5 (tmđk) Trả lời:

0.5 0.25 II.2 Bán kính lon nước ngọt là: r = 5,5:2 = 2,75 (cm) Thể tích lon nước ngọt là: V = 𝜋𝜋. 𝑟𝑟2. ℎ= 𝜋𝜋. 2,752. 13 ≈3,14.98,3125 ≈308,70 (𝑐𝑐𝑐𝑐3) = 308,70 (ml) Trả lời:

0.25 0.25

III.1 Giải phương trình: 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥2 −30 = 0 0.25