Đề giữa học kì 2 Toán 9 năm 2022 2023 trường THCS Lê Lợi - Hà Nội

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Ý Đáp án Biểu điểm Bài 1 2,0 điểm

1) Thay 𝑥𝑥= 25(TM ĐKXĐ) vào A ta có 0,25

Thay vào biểu thức A tính được A =

25

6 0,25

2) 𝐵𝐵= 3

√𝑥𝑥+ 1 − 1

√𝑥𝑥−1

+ 𝑥𝑥+ 5

(√𝑥𝑥−1)(√𝑥𝑥+ 1) 0,25

𝐵𝐵= 3൫√𝑥𝑥−1൯−൫√𝑥𝑥+ 1൯+ 𝑥𝑥+ 5

(√𝑥𝑥+ 1)(√𝑥𝑥−1) 0,25

𝐵𝐵= 𝑥𝑥+ 2√𝑥𝑥+ 1

(√𝑥𝑥+ 1)(√𝑥𝑥−1) 0,25

𝐵𝐵= (√𝑥𝑥+ 1)2

(√𝑥𝑥+ 1)(√𝑥𝑥−1) = √𝑥𝑥+ 1

√𝑥𝑥−1 0,25

3)

𝑃𝑃= 𝑥𝑥

√𝑥𝑥−1. Theo đề bài 𝑃𝑃≤4 < => 𝑥𝑥

√𝑥𝑥−1 ≤4 <=> (√𝑥𝑥−2)2

√𝑥𝑥−1 ≤0 0,25

(√𝑥𝑥−2)2

√𝑥𝑥−1 ≤0 < => 0 ≤𝑥𝑥< 1 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥= 4.

Kết hợp ĐKXĐ: 0 ≤𝑥𝑥< 1 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥= 4

0,25

Bài 2 2,0 điểm

Gọi chiều dài, chiều rộng của hcn là x,y (m),( 𝑥𝑥> 5; 𝑦𝑦> 2; 𝑥𝑥> 𝑦𝑦)

0,25 Lập luận ra diện tích hcn là xy (m2) 0,25 Lập được phương trình: ( x + 3)( y -2) = xy 0,25 Lập được phương trình: ( x - 3)( y + 3) = xy 0,25 Đưa về hpt và giải ra được x = 15 ; y = 12 0,75 Kết luận: 0,25 Bài 3 2,5điể m

1)

ĐKXĐ : 𝑥𝑥≥1 0,25 HPT {3√𝑥𝑥−1 + 2𝑦𝑦= 13 2√𝑥𝑥−1 − 𝑦𝑦= 4 Giải HPT tìm được {√𝑥𝑥−1 = 3 𝑦𝑦= 2 0,5

Kết hợp đk và kết luận nghiệm (10; 2) 0,25

2a

1) Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0

Giải phương trình với m = 3

Thay m = 3 đưa đc về pt x2 – 3x + 2 = 0

0,25

Giải pt tìm được x = 1; x = 2 0,25

2b

Tìm được đk để pt có hai nghiệm phân biệt là 𝑚𝑚≠2 0,5 Giải tìm ra m = 0 để 𝑥𝑥1

2 + 𝑥𝑥2

2 = 2 Nếu không loại TH m = 2 vẫn trừ 0,25 0,5

Bài 4 3,5 điểm

1) Chứng minh tứ giác AIEC nội tiếp. (1,0 điểm)

Vẽ hình đúng câu a) 0,25 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 900 (góc nội tiếp chăn nửa đt) 0,25

𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ෣= 900 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣ +𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ෣ =900 + 900 = 1800 Mà 2 góc này ở vị trí đối

0,25

Suy ra tứ giác BDEH nội tiếp. 0,25 2) Chứng minh: 𝐻𝐻𝐻𝐻. 𝐻𝐻𝐻𝐻= 𝐻𝐻𝐻𝐻. 𝐻𝐻𝐻𝐻(1,0 điểm) Chứng minh 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣= 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 ෣ (tứ giác BHED nội tiếp) 0,25 Suy ra ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 đồng dạng với ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 (g-g) 0,25 Từ đó

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐶𝐶𝐶𝐶=

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝐵𝐵𝐵𝐵 0,25 => 𝐻𝐻𝐻𝐻. 𝐻𝐻𝐻𝐻= 𝐻𝐻𝐻𝐻. 𝐻𝐻𝐻𝐻 (đpcm) 0,25 3) I thuộc đường tròn (O) và DA là tia phân giác của góc IDH (1 điểm)

Chứng minh E là trực tâm tam giác ABC => BE vuông góc AC (1) 0,25 Tứ giác CIED nội tiếp nên IE vuông góc AC (2). Từ (1), (2) suy ra B, E, I thẳng hàng, dẫn đến BI vuông góc AI và I ∈(𝑂𝑂)

0,25

Chứng minh 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ෢= 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ෢= 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ෢= 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 ෣ 0,25

Suy ra DA là tia phân giác của 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ෢ 0,25 Bài 5 0,5 điểm

Ta có ( ) ( ) 9 2 2 4 1 1 4 2. 2 a b ab a b a b a b + = + + + ≤ + + + + + ⇒ + ≥ (1) 0.25

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

( ) ( )

4 4 2 2 2 2 a b T b a a b a b a b b a     = + + + − + ≥ + − +        

Vì

( )

2 2 2 2

a b a b + + ≥

nên ( ) ( ) ( )( ) 2 1 T a b a b a b a b ≥ + − + = + + − (2) Từ (1) và (2) suy ra min 2 1. T a b = ⇔ = =

0,25

Lưu ý: - Điểm toàn bài để lẻ đến 0,25.

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.