Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2014 - 2015 phòng GDĐT Yên Lập - Phú Thọ

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút

Câu 1. (1,5 điểm)

1) M =

2 2 1 1 0,4 0,25 2014 9 11 3 5 : 7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

                  

2) Tìm x, biết: 2 1 2 2     x x x .

Câu 2. (2,5 điểm)

1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:

b

b a c a

a c b c

c b a         .

Hãy tính giá trị của biểu thức                    b c c a a b B 1 1 1 .

2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định

chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận

nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.

Câu 3. (2,0 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 2013 x x    với x là số nguyên.

2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz    .

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho  xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại

H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM

vuông góc với Ay tại M . Chứng minh :

a ) K là trung điểm của AC.

b ) KMC là tam giác đều.

c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM.

Câu 5. (1,0 điểm)

Cho ba số dương 0abc 1 chứng minh rằng: 2 1 1 1 a b c bc ac ab      

--------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.......................

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP

HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(1,5 điểm)

1) Ta có:

2 2 1 1 0,4 0,25 2014 9 11 3 5 : 7 7 1 2015 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

M

                   

2 2 2 1 1 1

2014 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2015 5 9 11 6 8 10

                   

1 1 1 1 1 1 2 2014 5 9 11 3 4 5 : 1 1 1 7 1 1 1 2015 7 5 9 11 2 3 4 5

                                            

2 2 2014 : 0 7 7 2015         

0.25đ 0.25đ

0.25đ

2) vì 2 1 0 x x    nên (1) => 2 2 1 2 x x x     hay 1 2 x  

+) Nếu x 1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3

+) Nếu x <1 thì (*) = > x -1 = -2 => x = -1

0.25đ

0.25đ 0.25đ

Câu 2

(2,5 điểm)

1) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b

b a c a

a c b c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c 

 = 1

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 2

=> a b b c c a c a b      =2

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=8

+Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b

b a c a

a c b c

c b a         = a b c b c a c a b

a b c 

 = 0

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 1

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

0.25đ

=> a b b c c a c a b      =1

Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                   

=1

0.25đ

2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c

Ta có: 5 6 7 ; ; 5 6 7 18 18 18 18 3 18 a b c a b c x x x x x a b c            (1)

Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có:

, , , , , ,

, , , 4 5 6 ; ; 4 5 6 15 15 15 15 3 15 a b c a b c x x x x x a b c            (2)

So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu

Vây: c’ – c = 4 hay 6 7 4 4 360 15 18 90 x x x x      

Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói.

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 3

(2,0 điểm)

1) Ta có: 2 2 2 2013 2 2 2013 2 A x x x x        

2 2 2013 2 2015 x x     

Dấu “=” xảy ra khi 2013 (2 2)(2013 2 ) 0 1 2 x x x     

Vậy MaxA= 2015 khi x=-1

0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ

2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1  xyz

Theo bài ra 1 = 1

yz + 1

yx + 1

zx  2 …