Đề khảo sát HSG huyện Toán 7 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Thái Thụy - Thái Bình

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: Toán 7

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Tính 4 2 2 3 3 2 A : : 7 5 3 7 5 3                  

b) Tìm x biết: 1 1 :2x 2 3 

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: x x x 3 4 5   Bài 2 (3,0 điểm).

a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.

b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của đa thức B(x) tại 1 x 2 

Bài 3 (4,0 điểm).

a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z b) Tìm x, y, z biết:

5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6      và 3x 2y 5z 96    .

Bài 4 (3,0 điểm).

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x x 1   

b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b 5  + b - 5.

Bài 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.

a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Bài 6 (1,0 điểm).

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng: 2 2 2 ab bc ca a b c 2(ab bc ca)        

------HẾT------ Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..………

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015-2016

Bài Nội dung Biểu điểm

1

a) Tính 4 2 2 3 3 2 A : : 7 5 3 7 5 3                  

b) Tìm x biết: 1 1 :2x 2 3 

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: x x x 3 4 5  

a) Tính:

4 2 2 3 3 2 A : : 7 5 3 7 5 3                  

= 4 2 3 3 2 : 7 5 7 5 3           

4 3 2 3 2 2 : 0: 0 7 7 5 5 3 3                         

Vậy : A = 0

0,5

0,75

0,25 b) Tìm x:

1 1 :2x 2 3 1 1 x 4 3 1 1 1 4 4 x : . 3 4 2 1 3



 

     

Vậy 4 x 3  

0,75

0,5

0,25

c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: x x x 3 4 5   +) Với x = 0, x = 1 thay vào không thỏa mãn

+) x =2 thay vào ta được 2 2 2 3 4 5   (đúng), vậy x = 2 thỏa mãn +) x > 2

x x x x x x x

x x 3 4 3 4 3 4 5 1 1 (*) 5 5 5 5                   

Với x > 2 ta có

x 2 x 2 x x 2 2 3 3 4 4 3 4 3 4 ; 1 5 5 5 5 5 5 5 5                                                       

( vì 3 4 1; 1 5 5   )

Suy ra x > 2 không thỏa mãn Vây x =2

0,25

0,25

0,25 0,25

2

a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c Z. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.

b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của

đa thức B(x) tại 1 x 2 

a) Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c





)f(0) 3 c 3 )f(1) 3 a b c 3 a b 3 1

)f( 1) 3 a b c 3 a b 3 2

       

      

    

  

Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2a 3 a 3      vì ( 2; 3) = 1 3 b 

Vậy a , b , c đều chia hết cho 3

0,25

0,5

0,5

0,25

b) Với x = 1

2 thì giá trị của đa thức

1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 98 99 100 2 2 2 2 2 2        B

2 1 1 1 1 1 1 2 1 ... 2 3 98 99 100 2 2 2 2 2 2

              B

1 1 1 1 1 2 1 ... 2 3 98 99 2 2 2 2 2       

 2 B =( 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 3 98 99 100 2 2 2 2 2 2        ) +2 - 1 100 2

1 2 2 100 2     B B

1 2 100 2    B

Vậy 1 2 100 2   B

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

3

a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z b) Tìm x, y, z biết:

5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6      và 3x 2y 5z 96    .

a) TH1: Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra x = y = z. Tương tự với y; z TH2: x, y, z là các số khác 0 từ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy

 ; ; x z y x z y x y z y x z y x z y z x       .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

 1 x y z x y z x y z y z x y z x          

Vậy x = y = z …