Đề thi học sinh giỏi Toán 7 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Giao Thủy - Nam Định

Bài 1 (5,0 điểm)

a. Thực hiện phép tính:

2 2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

                               

b. Cho biểu thức: 2 3 4 5 100 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 3 3 A       

Tính giá trị của biểu thức 100 1 4 . 3 B A  

Bài 2 (3,0 điểm). Tìm x, y biết:

a. 8 5 x y  và 5x + 4y = 120. b.

 

2 6 1 2 3 1 1 2

y y y x

        

.

Bài 3 (3,0 điểm)

a. Cho 1 1 1 1 ... 15 105 315 9177 M     

So sánh M với 1

12 .

b. Cho các số nguyên dương a; b; c; d; e thỏa mãn: 2 2 2 2 2 a b c d e     chia hết cho 2.

Chứng tỏ rằng: a + b + c + d + e là hợp số.

Bài 4 (3,0 điểm). Cho tỷ lệ thức: a c b d  . Chứng minh rằng: 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d a b c d     

(Giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa).

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC, O là trung điểm của BC. Từ B kẻ BD vuông góc với AC

(D thuộc AC). Từ C kẻ CE vuông góc với AB (E thuộc AB).

a. Chứng minh rằng: 1 . 2 OD BC 

b. Trên tia đối của tia DE lấy điểm N, trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho

DN = EM. Chứng minh rằng: Tam giác OMN là tam giác cân.

…………..Hết …………

Họ và tên thí sinh: …………………………………

Số báo danh: ………………………………………..

Họ, tên chữ ký GT1: …………………………………

Họ, tên chữ ký GT2: …………………………………

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIAO THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

Môn: TOÁN - Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀCHÍNH

Bài 1 (5,0 điểm)

Hướng dẫn giải Điểm

a) (2,5 điểm)

2 2 1 1 1 6. 3. 1 : 1 3 3 3

                               

=

2 1 4 6. 1 1 : 9 3           

1,0

2 16 2 : 3 9       

0,75

8 9 3 . 3 16 2  0,75

b) (2,5 điểm) 2 3 4 5 100 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 3 3 A       

2 3 4 99 1 1 1 1 1 3 1 ... 3 3 3 3 3 A      

0,5

100 1 3 1 3 A A   1,0

100 1 1 1 4 3 A         0,5

0 A   100 100 1 1 1 1 1 1 4 3 4 3 A                  0,25

100 100 100 1 1 1 1 4. 4. 1 1 3 4 3 3 B A             0,25

Bài 2 (3,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

8 5 8 5 x x y y    0,25

5 4 5 4 120 2 8 5 40 20 60 60 x y x y x y         1,0

2.8 16

2.5 10

x

y

      

0,25

b) (1,5 điểm)  

4 6 1 2 3 1 1 2

y y y x

        

Đặt 4 6 ( 1) 2 A x   

Chứng tỏ được A  3 với mọi x (1) Dấu bằng xảy ra  x = 1

0,5

Đặt 1 2 3 1 B y y y       

1 2 3 1 B y y y       

1 1 y y   với mọi y. Dấu bằng xảy ra y  1

0,75

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

GIAO THỦY

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017

Môn: TOÁN - Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút)

2 0 y   với mọi y. Dấu bằng xảy ra y = 2

3 3 y y    với mọi y. Dấu bằng xảy ra y  3  B  3 với mọi y (2), và tìm được dấu bằng xảy ra y = 2 Từ (1) và (2)  A = B = 3  x = 1; y = 2 0,25

Bài 3 (3,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

So sánh M với 1

12

1 1 1 1 ... 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 M     

0,5

4 4 4 4 4 ... 1.3.5 3.5.7 5.7.9 19.21.23 M       0,25

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 160 4 ... 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 19.21 21.23 3 21.23 483 40 483

M

M

           

 

0,5

Vì 1 40 40 12 480 483   nên M < 1

12 0,25

b) (1,5 điểm)

Đặt 2 2 2 2 2 A a b c d e      B a b c d e      Xét 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B a b c d e a b c d e            2 2 2 2 2 (a ) (b ) (c ) (d ) (e ) a b c d e          

0,5

.(a 1) .(b 1) .(c 1) .(d 1) .(e 1) A B a b c d e            0,25

Chỉ ra được với n là số nguyên thì tích hai số nguyên liên tiếp n(n + 1) là số chia hết cho 2 Do đó A + B chia hết cho 2

0,5

Theo đề bài A chia hết cho 2, suy ra B chia hết cho 2 và lập luận để có B > 2 Kết luận B là hợp số

0,25

Bài 4 (3,0 điểm)

Giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa

Từ a c a b b d c d    0,75

2 3 2 3 a b c d   0,75

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 a b a b a b c d c d c d        1,0

2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d a b c d       0,5

Bài 5 (6,0 điểm)

Vẽ hình ghi giả thiết kết luận 0,5