Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2018 - 2019 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 05 câu , 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 A = + + +...+ . 2 2.3 3.4 2017.2018

2) Cho hai đa thức: P(x) = x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3 và Q(x) = 3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x.

Biết rằng G(x) - 2x2 + Q(x) = P(x). Tìm đa thức G(x).

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Hãy chia số 213

70 thành ba phần tỉ lệ thuận với 3 5 ; 4; 5 2 .

2) Tìm các số x, y, z biết x 1 y 3 4   ; 2x = 3z và z + y – 3x = -10.

Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2 4 4 ( 1) ( 2) 3 P x y     . 2) Cho hàm số f(x) xác định với mọi  x R . Biết rằng với mọi 0 x  ta đều có

2 1 f (x) 2.f x x         . Tính f (2)?

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD = AC.

a) Chứng minh: BD = CE. b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh:   0 BAC ACN 180   .

c) Gọi I là giao điểm của DE và AM. Tính tỉ số

2 2

2 2 AD +IE DI +AE .

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:

S = a b c d

a b c a b d b c d a c d           

có giá trị không phải là số tự nhiên.

- Hết -

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2018- 2019

MÔN: TOÁN 7 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1 (2,0đ)

1 (1,0đ)

1 1 1 1 1 1 1 1 A = - ... 1 2 2 3 3 4 2017 2018        0,50

1 1 A = 1 2018  0,25

2017 A 2018  0,25

2 (1,0đ)

G(x) = P(x)-Q(x) +2x2 =(x5 - 2x3 + 3x4 – 9x2 + 11x – 3) – (3x4 + x5 – 2x3 - 11 – 10x2 + 9x) + 2x2 . 0,25

= 3x2 +2x+8 0,50 Vậy G(x) = 3x2 +2x+8. 0,25

2 (2,0đ)

1 (1,0đ)

Gọi 3 phần cần tìm lần lượt là x, y, z

Theo bài ra ta có x+y+z = 213

70

và x:y:z = 3 5 : 4: 5 2

0,25

hay x+y+z = 213

70

và x:y:z = 6 : 40 : 25

suy ra

213 x y z x + y + z 3 70 = = = = = 6 40 25 6 + 40 + 25 71 70

0,25

9 12 15 x ;y ;z 35 7 14     0,25

Vậy 3 phần cần tìm là 9 12 15 ; ; 35 7 14

0,25

2 (1,0đ)

Theo bài ra ta có x 1 y z 3 4 2   

và z + y – 3x = -10 suy ra

x 1 y z z (1 y) 3x 3 4 2 2 4 9         

0,25

z y 3x 1 10 1 1 11 11          

0,25

x 3;1 y 4;z 2      0,25 Vậy x 3;y 3;z 2    0,25

3 (2,0đ)

1 (1,0đ)

Ta có 2 2 2 2 2 0 1 1 ( 1) 1 1 x x x x x x      Dấu “=” xảy ra khi x = 0 0,25

2 2 2 4 4 0 2 2 ( 2) 2 16 y y y y y y        0,25

Dấu “=” xảy ra khi y = 0 => 1 16 3 20 P    0,25 Vậy GTNN của P bằng 20 khi x = 0; y = 0. 0,25

2 (1,0đ)

Với mọi 0 x  ta đều có 2 1 f(x)+2.f =x x      

nên:

+ Tại x = 2 ta có:  1 f 2 +2f =4 2      

(1)

0,25

+ Tại 2 1  x ta có:  1 1 1 1 f +2f 2 = => 2f +4f(2)= 2 4 2 2            

(2) 0,25

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có  -7 -7 3.f 2 = =>f(2)= 2 6 0,25

Vậy f(2) = 6

7  0,25

Nếu hs chỉ thiếu lập luận: Với mọi 0 x  ta đều có 2 1 f(x)+2.f =x x      

thì

trừ0,25 điểm

4 (3,0đ)

0,50

Vẽ hình, ghi giả thiết - kết luận đúng (đến hết phần 2)

2 1

N

I

M

E

D

C B

A

0,25

a (0,75đ)

Chứng minh được   1 2 A = A (cùng phụ với góc BAC) 0,25

Chứng minh được ABD = AEC (c.g.c) 0,25 =>BD = CE (hai cạnh tương ứng) 0,25

b (1,0đ)

Chứng minh được CMN = BMA (c.g.c) 0,25

=> CN = AB và   ABC MCN  0,25 => AB // CN ( vì có hai góc so le trong bằng nhau) 0,25

=>   0 BAC ACN 180   ( 2 góc trong cùng phía bù nhau) 0,25

c (0,75đ)

    DAE DAC BAE BAC    = 900 + 900 -  BAC = 1800 -  BAC (1)   0 ACN 180 BAC   (2)

Từ (1) và (2) =>   DAE ACN  Chứng minh được ADE = CAN (c.g.c)

0,25

Từ ADE = CAN =>   ADE CAN  ( hai góc tương ứng)

Mà   DAN CAN  = 900 nên   DAN ADE  = 900

=>   DAI ADI  = 900 =>   AID AIE  = 900

0,25