Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)

Tìm x biết:

a)

2 1 1 x 0 3 16         

b) 3 1 x 2017 4 2   

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho a b c b c c a a b     

. Tính : a b b c c a P c a b       .

b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4.

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm.

b) Cho đa thức

2 2 10 2017 2 A x xy y y     và

2 2 5 8 2017 3 2018 B x xy y y      .

Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AM  BC và MA = MC.

b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD

tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME.

c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn 25 a b c d     .

Tìm giá trị lớn nhất của c d M b a   .

–––––––– Hết ––––––––

Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:…………………….

Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:…………………………..

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

a

2 1 1 x 3 16        



1 1 1 x x 3 4 12 1 1 7 x x 3 4 12

                   

0,5

0,5

b

3 1 3 1 4035 x 2017 x 2017 4 2 4 2 2         0,25

3 4035 8067 x x 4 2 4 3 4035 8073 x x 4 2 4

                     

0,25

0,5

2

a

Ta có:           a b c a b c b c c a a b 2(a b c)

0,25

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b Khi đó     P ( 1) ( 1) ( 1) 3 0,25

+ Nếu 0 a b c    thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

Khi đó           a b b c c a 2c 2a 2b P 6 c a b c a b

0,25

Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25

b

Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z.

Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z x y z 6 4 3   

0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 6 4 3 6 4 3        0,25

26 2 13  

 x = 12, y = 8, z = 6.

0,25

0,25

3 a

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.  f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. 0,25

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25

 f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0

4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0 0,25

b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25

b

C = A – B    2 2 2 2 10 2017 2 5 8 2017 3 2018 x xy y y x xy y y          0,25

         2 2 2 2 x 10xy 2017y 2y 5x 8xy 2017y 3y 2018     2 4x 2xy y 2018       2 C 4x 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C    2x y 2018    (2x y) 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được   C 1 2018 2017

0,25

0,25

0,25

4

F

5 4 3 2 1

E H

D

M C B

A

0,25

a

Xét ABM và ACM có:

AM chung; AB = AC ( ABC vuông cân); MB = MC (gt)

 ABM = ACM (c.c.c)

0,25

   AMB AMC  . Mà     0 0 AMB AMC 180 AMB AMC 90     

 AM  BC

0,25

- AMC có   0 0 AMC 90 ; ACM 45   (ABC vuông cân tại A)

 AMC vuông cân tại M  MA = MC (1)

0,5

b

Ta có:   0 2 3 M M 90   (MD  ME) và   0 3 4 M M 90   (AM  BC)

   2 4 M M  (2)

0,25

- Do ABM = ACM    

0 BAC MAB MAC 45 2    0,25

Xét AMD và CME có:

AM = CM (theo (1));   2 4 M M  (theo (2));   0 MAD ACM 45  

 AMD = CME (g.c.g)  MD = ME

0,5