Đề thi HSG Toán 7 năm 2020 - 2021 phòng GDĐT thành phố Sầm Sơn - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ SẦM SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN THI: TOÁN

LỚP 7 - THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Tính:

24 10

4 28 32 4 8 16 + + .

2. Tính nhanh : a) A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + − ;

b) B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + .

3. Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y  N). Tính giá trị của biểu thức x - 2y2. Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm các số a, b, c biết: (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30. 2. Tìm x, biết: 3 2 5 4 5 x x − − = −.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Số M được chia thành ba phần tỉ lệ với nhau như 0,25: 0,375 : 0,1(3). Tìm số M,

biết rằng tổng các bình phương của ba phần đó bằng 4564. (Lưu ý: 1,(3) = 4

3 ).

2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N =

2 3 4 1 2 x x x

− + − có giá trị nguyên.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có 0 30 ABC ACB = = . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho 0 30 DBE = . Gọi P là điểm trên cạnh BC sao cho BP = BD. Vẽ PQ vuông góc với CD.

a) Chứng minh rằng tam giác AEB là tam giác vuông.

b) Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 BE BC BD = + .

c) Chứng minh rằng EB = EQ. d) So sánh hai đoạn thẳng AE và AQ. Câu 5. (2,0 điểm)

So sánh A và B biết:

A = 2016 2017 2018 2019 2017 2018 2019 2016 + + + và B = 1 1 1 1 ... 8 9 10 63 + + + + .

........ Hết .........

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: .................................................. Số báo danh: ……...

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ SẦM SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán - Lớp 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

1

Tính:

24 10

4 28 32 4 8 16 + + 1,0

24 10

4 28 32 4 8 16 + + = ( ) ( ) ( ) ( )

24 10 5 2 120 20

4 28 12 112 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + = + +

0,25

( ) ( )

20 100

12 100 2 2 1

2 2 1

+ =

+ 0,25

82 = ( )

2 4 4 2 2 = = 0,25

16 = 0,25

2a)

Tính nhanh : A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + − 1,0

A = 13 23 33 43 93 103 ... 4.9 9.14 14.19 19.24 44.49 49.54 − + − + + −

=             + − + + + − + + + + − +                        

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 9 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54

0,25

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 9 9 14 14 19 19 24 44 49 49 54 + − − + + − − + + + − − 0,25

= 1 1 4 54 − 0,25

= 25

108 0,25

2b)

Tính nhanh B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + 1,0

B = 1 1 1 1 1 1 6 18 36 60 90 126 + + + + + = 3 3 3 3 3 3 18 54 108 180 270 378 + + + + +

= 3 3 3 3 3 3 3.6 6.9 9.12 12.15 15.18 18.21 + + + + +

0,25

= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 6 6 9 9 12 12 15 15 18 18 21 − + − + − + − + − + − 0,25

= 1 1 3 21 − 0,25

7 1 6 2 21 21 7 − = = = 0,25

3

Cho 2x = 8y+1 và 9y = 3x – 9 (x, y  N). Tính x - 2y2 1,0

2x = 8y+1 = ( )

1 3 3 3 2 2 3 3 y y x y + + =  = + (1)

9y = 3x – 9 = ( )

2 2 3 3 9 2 y y x y =  − = (2) 0,25

Thay x = 3y + 3 vào (2) ta được: 3y + 3 – 9 = 2y  y = 6 0,25 Thay y = 6 vào (1) ta được: x = 3.6 + 3 = 21 0,25 Vậy x - 2y2 = 21 - 2.62 = - 51. 0,25

2

1

Tìm a, b, c biết (a – b – 1):(a + b – 1):(a – 1)b = 3 : 7 : 30 2,0 (a – b – 1) : (a + b – 1) : (a – 1)b = 3 : 7 : 30

1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 7 30 3 7 5 a b a b a b a b a b a − − + − − − − + + − −  = = = = +

(a - 10)

0,5

− − − =  = =  = − ( 1) 1 ( 1) 30 6 6 30 5 1 5 a b a a b b a (a - 10) 0,5

− − − − − − −− − =  = = = = − 1 1 6 1 1 1 ( 7) 6 3 3 5 3 5 5 3 2 a b a a a a a

1 5.3 15 16 a a  −= =  =

0,75

Vậy a = 16, b = 6 0,25

2

Tìm x, biết: 3 2 6 4 5 x x − − = − (1) 2,0

Vì 3 2 5 0 x − − với mọi x nên từ (1) ta suy ra 4x – 5  0

5 4 x   (2) 0,25

15 7 3 3 2 3 2 0 4 8 x x x    −   −  3 2 3 2 x x  − = −

3 2 6 3 2 6 3 8 x x x  − − = −− = −

0,5

Do đó: 3 2 6 4 5 3 8 4 5 x x x x − − = −  − = − 0,25

3 8 4 5 3 3 8 (4 5) 7 13 x x x x x x − = − = −       − = − − =  

3 …