Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2020 - 2021 phòng GDĐT Yên Định - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

YÊN ĐỊNH

Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM

Năm học 2020 - 2021

Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đềcó 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: (5,0 điểm)

1. Thực hiện phép tính: . 512 5. 2

16

3 : 4 9 5. 5 2

2 7

3 3 7 7



                  

 A

2. Cho 25

9 16

25 9

16      z y x và 11 5 2 3   x . Tính 2021     z y x B .

3. Cho biểu thức x y z t M x y z x y t y z t x z t             với x, y, z, t là các số

tự nhiên khác 0. Chứng minh 10 1025 M  . Câu II: (5,0 điểm)

1. Tìm x, biết:   . 2015 2013 1 2 ... 5.4 2 4.3 2 3.2 2       x x

2. Cho x, y, z 0 và 0    z y x . Tính giá trị biểu thức        

  

        z y y x x z P 1 1 1 .

3. Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

  n n có giá trị lớn nhất.

Câu III: (4,0điểm) 1. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

2. Tìm các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho   1 2

1    n n p .

Câu IV: (5,0 điểm) . Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM sao cho AM vuông góc với AB và AM = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN = AC.

a) Chứng minh rằng: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Kẻ AH BC (H  BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: 102 102 101 101 100 100 b a b a b a      Hãy tính giá trị của biểu thức: . 2015 2014 b a P  

---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

2

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

YÊN ĐỊNH

Hướng dẫn chấm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM

Năm học 2020 - 2021

Môn: Toán Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu)

Câu Nội dung Điểm

I (5đ)

1.     . 2 1 2 5 2

3 2 2 2. 2 5. 2

12 2 2. 2 5. 2

16

3 : 4 9 5. 5 2

512 5. 2

16

3 : 4 9 5. 5 2

2 2 7

3 6

2 7 2 7

3 7

2 7 2 7

3 7

2 7

3 3 7 7

       

            

 

                  

 A

2.0

2. Ta có: 2x3 – 5 = 11  x3 = 8  x = 2

Do đó: 2 25

9 16

25 25

9 16

25 9

16 2           z y z y

 y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – 9 = 41

Vậy B = 2 – 57 + 41 + 2021 = 2007.

0,5

0,75

0,25

3. + Ta có: x x x y z x y     ; y y x y t x y    ; z z y z t z t    

; t t x z t z t    

M < )t z

t t z

z ( ) y x

y y x

x (        => M < 2

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025 Vậy M10 < 1025

0.5

0,5 0,25 0.25

II (5đ)

1.   2015 2013 1 2 ... 5.4 2 4.3 2 3.2 2       x x

2015 2013 1 1 1 ... 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2       

          x x

. 2014 2015

2 1 2 2015 2013 1 2 1 2015 2013 1 1 2 1 2                

   x x x x

1,0

1.0

2. Ta có: z

y z y

x y x

z x z y y x x z P            

  

        . . 1 1 1

Từ x y z z x y y z x z y x            ; ; 0

Suy ra: 1 . .     z x y

z x y P (vì x, y, z 0)

0,5

0,5

0,5

3. Ta có:    

     . 3 2 2

5 2 7 3 2 2

5 3 2 7 3 2 2

8 7 2 3 2

8 7

   

       

n n n n n n n

Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi   3 2 2

5

 n lớn nhất.

Từ đó suy ra: 2n-3=1  .2  n Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6

khi .2  n

0,5

0,5

0,5

III (4,0đ)