Đề HSG cấp cụm Toán 7 năm 2022 - 2023 trường THCS Cành Nàng - Thanh Hóa

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

THỊ TRẤN CÀNH NÀNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP CỤM

NĂM HỌC 2022-2023 Đề thi môn: TOÁN 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 29 tháng 01 năm 2023

Bài 1. (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

2 0 2 2 2 3. 2. 4. 3 3 3 A − − −       = − +            

b) B 42.53 47.156 47.114 = + −

c) 7 7 5 21 49 8 C . . . 13 15 12 39 91 15 = − +

Bài 2. (4 điểm) Tìm , , x y z biết a) ( ) x 2034 .5 105 − = −

b) 1 0,25 1,25 2 x − + =

c) 1 3 5 2 4 8 x − =

d) ( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ). x = 2013 2012 2 1 ... 1 2 2012 2013 + + + +

Bài 3. (4 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = b 5 − + b - 5.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C= 22 3x 4 x − − có giá trị lớn nhất.

Bài 4. (6 điểm)

Cho ∆ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ∆ABM và ∆ACN.

a) Chứng minh rằng: MC = BN. b) Chứng minh rằng: BN ⊥ CM. c) Kẻ AH ⊥BC (H ∈ BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Bài 5. (2 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 1! + 2! +3! +…+ x! = y2

--------------- HẾT ---------------

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

THỊ TRẤN CÀNH NÀNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022- 2023

MÔN: TOÁN 7

Câu Nội dung Điểm

1 (4đ)

a

2 0 2 2 2 3. 2. 4. 3 3 3 A − − −       = − +            

4 4 3. 4.1 9 3 A = + +

4 4 4 3 3 A = + +

2 6 3 A =

0,5

0,5

0,5

b

( ) A 42.53 47. 156 114 42.53 47.42 = + − = +

( ) A 42. 53 47 42.100 4200 = + = =

0,5 0,5

c

7 7 5 7 7 8 B . . . 13 15 12 13 13 15 = − +

7 7 5 8 B . 13 15 12 15   = − +    

7 5 B . 1 13 12   = −    

7 7 49 B . 13 12 156 = =

0,5

0,5

d

2 (4đ)

a

x 2034 21 − = − x 21 2034 x 2013 = − + =

0,5

0,5

b

1 0,25 1,25 2 x − + =

0,25 0,75 x ⇒ − =

0,25 0,75

0,25 0,75

x

x

− =  ⇒− = − 

1

0,5

x

x

=  ⇒= − 

Vậy { } 1; 0,5 x∈ −

0,5

0,5

c

1 3 5 1 11 2 4 8 2 8 11 4

x x

x

− = ⇔ =

=

0,5

0,5

d

( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2013 2012 2 1 ... 1 2 2012 2013 + + + + 0,5

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2012 2011 2 1 1 1... 1 1 1 2 3 2012 2013 + + + + + + + +

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 2014 2014 2014 2014 2014 ... 2 3 2012 2013 2014 + + + + +

⇔( 1 1 1 ... 2 3 2014 + + + ).x = 1 1 1 1 1 2014( ... ) 2 3 2012 2013 2014 + + + + ⇔x =

2014

0,5

3(4đ)

a

Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x

Với x < 0 thì x + x = 0. Do đó x + x luôn là số chẵn với ∀

x∈Z. Áp dụng nhận xét trên thì b 5 − + b – 5 là số chẵn với b -5 ∈ Z.

Suy ra 2a + 7 là số chẵn ⇒ 2a lẻ ⇔ a = 0 . Khi đó b 5 − + b – 5 = 8

+ Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – 5 = 8 ⇔ 0 = 8 (loại) + Nếu b ≥ 5 , ta có 2(b – 5) = 8 ⇔ b – 5 = 4 ⇔ b = 9 (thỏa mãn) vậy (a; b) = (0; 9)

0,5

0,5

0,5

0,5

b

Biến đổi C = 22 3x 4 x − − = 3(4 x)+10 10 3 4 x 4 x − = + − −

C có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 10 4 x − có giá trị lớn nhất

Có x ∈Ζ , ta xét các trường hợp sau

Với x > 4 ⇒ 4 – x < 0 thì 10 4 x − < 0 (1)

Với x > 4 ⇒ 4 – x > 0 . Phân số 10 4 x − có tử và mẫu đều dương, tử

không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất Có x ∈Ζ Suy ra 4 – x ∈Ζ Suy ra 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất ⇒ 4 - x = 1 ⇒ x = 3

khi đó 10 4 x − có giá trị là 10 (2)

Từ (1) và (2) , phân số 10 4 x − lớn nhất bằng 10

Vậy GTLN của C bằng 13 khi và chỉ khi x = 3

0,5

0,5

0,5

0,5