Đề giao lưu HSG lần 3 Toán 7 năm 2022 - 2023 cụm THCS huyện Nga Sơn - Thanh Hóa

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH

( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN 3

MÔN: TOÁN 7 Ngày thi: 23 tháng 02 năm 2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I. (4,0 điểm).

1) Thực hiện phép tính:

a) 1 2 1 5 1 4 1 A 2 5 3 7 6 35 41 − − − = − + + − + + b)

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − = − + + B

c) 2 2 2 2 1 1 1 1 C ( 1).( 1).( 1)...( 1) 2 3 4 2023 = − − − −

2. Cho a b c = = b +c c +a a + b

. Tính giá trị biểu thức : a + b b + c c + a P = + + c a b .

Câu II. (4,0 điểm).

1. Tìm x,y,z thỏa mãn: = = 4x 3y;4y 3z và + −= − 2x y z 14 2. Tìm số nguyên tố p sao cho p+2, p+6, p+8, p+14 cũng là số nguyên tố 3. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x + y)4 = 40x + 41.

Câu III. (4,0 điểm).

1. Cho d c b a = . Chứng minh rằng 2 2

2 2

2023 2022 2023 2022 . . d b c a d b c a + + =

2. Cho 100 99 98 97 A x 100x 100x 100x ... 100x 2122 = − + − + − + . Tính A khi x=99

Câu IV. (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E.

a) Chứng minh: MD = ME. b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = BD, DK cắt BC tại I, đường vuông góc với DK tại I cắt AM tại S. Chứng minh: I là trung điểm của DK và SC vuông góc với AK.

c) Chứng minh: MD + ME ≥ AD + AE.

Câu V. (2,0 điểm).

Cho 2023 1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2 1 A      , chứng minh rằng: 2023 2 A .

……………………HẾT……………………

PHÒNG GD & ĐT NGA SƠN CỤM: LIÊN- TIẾN – TÂN – THANH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN THI: Toán 7 Hướng dẫn chấm gồm có 02 trang

Câu Phần Nội dung Điểm I 4đ

a 1đ

1 2 1 5 1 4 1 A 2 5 3 7 6 35 41 − − − = − + + − + +

1 2 1 5 1 4 1 2 5 3 7 6 35 41 = + + + + − +

1 1 1 2 5 4 1 ( ) ( ) 2 3 6 5 7 35 41 = + + + + − +

3 2 1 14 25 4 1 ( ) ( ) 6 6 6 35 35 35 41 = + + + + − +

1 1 1 1 1 2 2 41 41 41 = + + = + =

Vậy A 1 2 41 =

0.25 0.25 0.25 0.25 b 1đ b.

( ) ( )

12 5 6 2 10 3 5 2

6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49

125.7 5 .14 2 .3 8 .3

− − = − + + B

( )

12 5 2 6 2 2 10 3 2 5 2 2

6 3 3 9 3 2 3 4 5 2 .3 (2 ) .(3 ) 5 .7 (5 ) .(7 )

(5 ).7 5 .(2.7) 2 .3 (2 ) .3

− − = −  + +  

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − = − + +

12 4 10 3

12 5 9 3 3 2 .3 (3 1) 5 .7 (1 7) 2 .3 (3 1) 5 .7 (1 2 ) − − = − + +

12 4 10 3

12 5 9 3 2 .3 .2 5 .7 ( 6) 1 10 1 20 7 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 6 6 2 − − = − = − = + =

Vậy B= 7 2 =

0.25 0.25 0.25 0.25

c 1đ 2 2 2 2 1 1 1 1 C ( 1).( 1).( 1)...( 1) 2 3 4 2023 = − − − −

2 2 2 2

2 2 2 2 1 2 1 3 1 4 1 2023 . . ... 2 3 4 2023 − − − − = 2 2 2 2 3 9 15 4092528 . . ... 2 3 4 2023 − − − − =

2 2 2 2 2 2 2 2 3 9 15 4092528 1.3 2.4 3.5 2022.2024 . . ... . . ... 2 3 4 2023 2 3 4 2023 = =

2 2 2 2 1.3 2.4 3.5 2022.2024 . . ... 2 3 4 2023 = 2 2 2 2 1.3.2.4.3.5....2022.2024 2 .3 .4 ...2023 =

(1.2.3.4.5....2022)(3.4.5....99.2024) (2.3.4.5....99.2023)(2.3.4.5....2023) = 1.2024 2023.2 = 1012 2023 =

Vậy 1012 C 2023 =

0.25 0.25 0.25 0.25

d 1đ

+ Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b

Khi đó = − + − + − = − P ( 1) ( 1) ( 1) 3

+ Nếu 0 a b c + + ≠ thì : a b c a + b + c = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) = 1 2

Suy ra b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c

0.25 0.25