Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Gia Viễn - Ninh Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS

NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh :..............................................................Số báo danh ....................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: ............................................................................................

Giám thị thứ hai:............................................................................................... Câu 1 (4,0 điểm)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) 7 5 7 12 30 . . . 23 17 23 17 23 − = + + A b)

3 3 0,375 0,3 11 12 . 5 5 0,625 0,5 11 12

− + − = − + − B

c) 3 2 , M a b c = + + biết 5; 8. a b b c + = + = − Câu 2 (4,0 điểm)

a) Tìm x, y, z biết: , 3 4 3 5 x y y z = = và 2 3 6. − + = − x y z

b) Tìm số nguyên x, y biết 2 6. xy x y − + = Câu 3 (4,0 điểm)

a) Cho đa thức 2 ( ) 4 . = + + Q x ax bx c Chứng minh rằng nếu đa thức ( ) Q x nhận 2 và -2 là nghiệm thì a và c là hai số đối nhau.

b) Cho , a c b d = với 0, 0; . b d c d ≠ ≠ ≠ Chứng minh rằng ( ) ( ) 2023 2023

2023 2023 2023 2023 a b c d

a b c d . − − = − −

c) Chứng tỏ rằng tích của hai số nguyên lẻ liên tiếp cộng thêm 9 thì chia hết cho 4. Câu 4 (6,0 điểm)

Cho ABC ∆ vuông tại A (AB < AC), D là trung điểm của , BC trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho = DE DA. Gọi H và K thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống đường thẳng , AE M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC .

a) Chứng minh . = BK CH b) Chứng minh . > CD KM c) Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại P và cắt BH tại N. Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng.

d) Giả sử  0 36 , ACB = tia phân giác của  ACB cắt AD tại F. Chứng minh tam giác CEF là tam giác cân. Câu 5 (2,0 điểm)

a) Một cái hộp đựng 60 quả bóng giống nhau, gồm ba màu: màu đỏ, màu xanh và màu vàng. Trong đó có 18 quả bóng màu đỏ và 25 quả bóng màu vàng. Hỏi cần phải lấy ra ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu quả bóng để chắc chắn rằng lấy ra được 2 quả bóng xanh?

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 6. 4 7. 8 P y x x = − + − +

-----------Hết-----------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 7 THCS

NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm Câu 1: (4,0 điểm)

a) (1,5 điểm)

a) 7 5 7 12 30 7 5 12 30 . . . 23 17 23 17 23 23 17 17 23 − −   = + + = + +     A

0,5

7 30 23 .1 1. 23 23 23 − − = + = = − 1,0

b) (1,5 điểm)

b)

1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3. 0,375 0,3 3 8 10 11 12 8 10 11 12 11 12 . 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 5 0,625 0,5 5. 11 12 8 10 11 12 8 10 11 12

  − + − − + − − + −     = = = =   − + − − + − − + −    

B

1,5

c) (1,0 điểm)

Ta có: ( ) 3 2 2 2 M a b c a b b c = + + = + + + 02,5

( ) ( ) 2 M a b b c = + + + 0,25

Thay 5; 8 a b b c + = + = − vào ( ) ( ) 2 M a b b c = + + + ta được:

( ) ( ) 5 2 8 5 16 11 M = + − = + − = −

0,5

Câu 2: (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm)

a) 3 4 9 12 x y x y = ⇒ = (1); 3 5 12 20 y z y z = ⇒ = (2) 0,5

Từ (1) và (2) ta có . 9 12 20 = = x y z 0,5

2 3 2 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 x y z x y z x y z − + = = = = = = − + = 6 3 2 −= − 0,5

Tìm được x = -27; y =- 36; z = -60. 0,5 b) (2,0 điểm) 2 6. xy x y − + = ( ) ( ) 4 2 2 12 2 2 1 2 1 12 1 xy x y x y y ⇒ − + = ⇒ − + − = −

( )( ) 2 1 2 1 11 x y ⇒ + − =

0,5

2 1;2 1 ⇒ − + ∈ y x Ư(11) { } 2 1;2 1 1; 11 ⇒ − + ∈± ± y x 0,5

Giải tìm được 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là:

( ) ( ) ( ) ( ) 0;6 ; 1; 5 ; 5;1 ; 6;0 . −− −

1,0

Cách 2: ( ) 6 2 6 2 1 6 2 1 x xy x y y x x y Z x + − + = ⇒ + = + ⇒ = ∈ + 0,5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 1 2 6 2 1 2 1 11 2 1 x x x x x x ⇒ + + ⇒ + − + + ⇒ +    0,5