Đề thi Olympic Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Hoàng Mai - Nghệ An

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC

Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 150 phút,

không kể thời gian giao đề

Câu 1. (3,0 điểm) a) (−8)2: {25 −18: [(52 + 23): 11 −20230]}

b)

1

1+2+3 + 1

1+2+3+4 +. . . + 1

1+2+...+2023

c)

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho 3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

4 = 2𝑧𝑧−4𝑥𝑥

3 = 4𝑦𝑦−3𝑧𝑧

2 . Chứng minh rằng 𝑥𝑥

2 = 𝑦𝑦

3 = 𝑧𝑧

4

b) Tính giá trị của đa thức 𝑀𝑀= 5𝑥𝑥4 + 9𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦4 + 5𝑦𝑦2 với 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 5

c) Tìm x biết: 𝑥𝑥−3

5 = 20

𝑥𝑥−3

Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x; y biết (2𝑥𝑥−6)2024 + |3𝑦𝑦−9| ≤0 b) Ông A chia một khu đất thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau cho ba người con trai. Biết rằng chiều rộng của các mảnh đất lần lượt là 6m, 8m, 10m. Tổng chiều dài các mảnh đất là 47m. Tính diện tích khu đất đó.

c) Tìm x, y nguyên biết: xy - 3x + 2y = -7

Câu 4. (6,0 điểm) Cho ∆ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N

a) Chứng minh rằng: DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thỏa mãn: a + b + c = 0.

Chứng minh rằng: 2022ab + 2023bc + 4045ca ≤0

--- Hết --- (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh: …………

3 2 2 1 1 0,4 0,25 2013 9 11 3 5 : 7 7 1 2014 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

A

  − + − +   = −     − + − +  

2

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI OLYMPIC

Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 04 trang)

Môn: Toán 7

Câu Nội dung Điểm Câu 1

(4,0 điểm)

1.1

( ) ( ) { } 2 2 2 0 8 : 25 18: 5 2 :11 2018   − − + −  

[ ] { } 64: 25 18: 33:11 1 = − −

{ } 64: 25 18: 2 = −

64:16 4 = = .

0.5

0.5

1.2.

1 (1 + 3). 3 2

+ 1 (1 + 4). 4 2

+ 1 (1 + 5). 5 2

+ ⋯+ 1 (1 + 2023). 2023 2

=

2

3.4 + 2

4.5 + 2

5.6 +. . . + 2

2023.2024 = 2 ቀ 1

3.4 + 1

4.5 + 1

5.6 +. . . + 1

2023.2024ቁ=

2 ቀ 1

3 − 1

2024ቁ= 2021

3036

0.5

0.5

1.3.

3

3

3

2 2 2 1 1 1 2013 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2014 5 9 11 6 8 10

1 1 1 1 1 1 2 2013 2 2 2013 5 9 11 3 4 5 : : 0 1 1 1 7 1 1 1 2014 7 7 2014 7 5 9 11 2 3 4 5

  − + − +   = −     − + − +    

    − + − +           = − = − =           − + − +            

0.5 0.5

Câu 2

(4,0 điểm)

2.1

3𝑥𝑥−2𝑦𝑦

4 = 2𝑧𝑧−4𝑥𝑥

3 = 4𝑦𝑦−3𝑧𝑧

2

= 12𝑥𝑥−8𝑦𝑦

16 = 6𝑧𝑧−12𝑥𝑥

9 = 8𝑦𝑦−6𝑧𝑧

4

3 2 2 1 1 0,4 0,25 2013 9 11 3 5 : 7 7 1 2014 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6

A

  − + − +   = −     − + − +  

3

=

12𝑥𝑥 −8𝑦𝑦+6𝑧𝑧−12𝑥𝑥+8𝑦𝑦−6𝑧𝑧

16+9+4 = 0

Suy ra 3x - 2y = 0; 2z - 4x = 0; 4y - 3z = 0 →൝ 3𝑥𝑥= 2𝑦𝑦 2𝑧𝑧= 4𝑥𝑥 4𝑦𝑦= 3𝑧𝑧

→𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 3 ; 𝑥𝑥 2 = 𝑧𝑧 4 ; 𝑦𝑦 3 = 𝑧𝑧 4 →𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 3 = 𝑧𝑧 4

0.5 0.5 0.5

2.2.

𝑀𝑀= 5𝑥𝑥4 + 9𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦4 + 5𝑦𝑦2 = 5𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 4𝑦𝑦4 + 5𝑦𝑦2 = 5𝑥𝑥2(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) + 4𝑦𝑦2(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) + 5𝑦𝑦2=5. 𝑥𝑥2. 5 + 4𝑦𝑦2. 5 + 5𝑦𝑦2 = 25𝑥𝑥2+25𝑦𝑦2=25(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) = 25.5 = 125

0.5 0.5

0.5

2.3

𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐ó: 𝑥𝑥−3 5 = 20 𝑥𝑥−3

→(𝑥𝑥−3)2 = 100 →𝑥𝑥−3 = 10 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥−3 = −10 →𝑥𝑥= 13 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥= −7

0.5 0.5 Câu 3

(4,0 điểm)

3.1.

(2𝑥𝑥−6)2024 ≥0 ∀𝑥𝑥; |3𝑦𝑦−6| ≥0∀𝑦𝑦 mà (2𝑥𝑥−6)2024 + |3𝑦𝑦−9| ≤0 nên 2x-6=0 và 3y-6=0 suy ra x=3 và y=3

0.25 0.25 0.25 0.25

3.2.

Gọi chiều dài của 3 mảnh đất lần lượt là x, y, z (x, y, z ∈ ℕ∗; x, y, z < 47) (m) Không mất tính tổng quát ta giả sử : x < y < z. Vì các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau, do đó chiều dài và chiều rộng của mỗi hình chữ nhật tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có : 10.x = 8.y = 6.z

⇒ 10𝑥𝑥

120 = 8𝑦𝑦

120 = 6𝑧𝑧

120 ⇒ 𝑥𝑥

12 = 𝑦𝑦

15 = 𝑧𝑧

20

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : 𝑥𝑥 12 = 𝑦𝑦 15 = 𝑧𝑧 20 = 𝑥𝑥+ 𝑦𝑦+ 𝑧𝑧 12 + 15 + 20

Mà x + y + z = 47 ⇒ 𝑥𝑥

12 = 𝑦𝑦

15 = 𝑧𝑧

20 = 47

47 = 1

⇒ x = 12; y = 15; z = 20 Vậy ta có các mảnh đất hình chữ nhật với kích thước như sau Rộng 6m, dài 20m; rộng 8m, dài 15m; rộng 10m, dài 12m …