Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Bình Lục - Hà Nam

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN BÌNH LỤC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2022-2023

MÔN: TOÁN LỚP 7

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3,5 điểm). 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A =

3 4 − 3 7 + 3 11 5 4 − 5 7 + 5 11

+

1 2 − 1 3 + 1 7 5 4 − 5 6 + 5 14

b) B = 46∙ 95− 69∙240

−84∙313 + 2∙611

2. Cho các số x, y thỏa mãn (𝑥𝑥+ 2)4 + (2𝑦𝑦−1)2024 ≤0.

Tính giá trị của biểu thức M = 5𝑥𝑥2𝑦𝑦−4𝑥𝑥𝑦𝑦2 3. Tìm số dư của A = 1 + 4 + 42 + 43 + ⋯ + 489 + 490 khi chia cho 21.

Câu 2 (3,5 điểm).

1. Tìm x biết |2x −1| = 3 2. Tìm x, y, z biết 4x = 3y; 7y = 5z và 2x + 3y −z = −62 3. Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5, 6, 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4, 5, 6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (3,0 điểm).

1. Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 2𝑑𝑑

𝑑𝑑

Tính giá trị biểu thức Q, biết 𝑄𝑄=

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏

𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐

𝑑𝑑+ 𝑎𝑎+ 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏+ 𝑑𝑑 + 𝑎𝑎

𝑏𝑏+ 𝑐𝑐

2. Tìm nghiệm của các đa thức sau: a) 5𝑥𝑥+ 3 b) 𝑥𝑥3 −2𝑥𝑥 3. Tìm đa thức 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏+ 𝑐𝑐 biết 𝑃𝑃(−1) = −1; 𝑃𝑃(0) = 1; 𝑃𝑃(1) = 3 với x là biến số và a, b, c là các hệ số. Câu 4. (8,0 điểm).

1. Cho tam giác DEF vuông cân tại D. Gọi G là trung điểm của EF. a) Chứng minh EDG ෣= DFG. ෣ b) Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng EG (H khác E và G). Kẻ các đường thẳng EI, FK lần lượt vuông góc với đường thẳng DH tại I và K. Chứng minh EI = DK và tam giác GIK vuông cân.

2. Cho tam giác MNP có NMP ෣< 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác MNP hai đoạn thẳng MQ vuông góc và bằng MN, MR vuông góc và bằng MP. Gọi I là trung điểm

của NP. Chứng minh MI = 1

2 QR.

Câu 5. (2,0 điểm). Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn: 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 + 5 = 5𝑦𝑦 và 𝑥𝑥+ 3 = 5𝑧𝑧.

---Hết---

Giám thị 1: ……………………………. Họ và tên học sinh:……………….……….………. Giám thị 2: ……………………………. Số báo danh:………………..………………….……

Hướng dẫn chấm và biểu điểm

Môn Toán 7

Câu ý Nội dung Điểm

1 3,5

đ

1 1,5 đ

a) A =

3 4 − 3

11 + 3

13 5 4 − 5 11 + 5 13

+

1 2 − 1

3 + 1

4 5 4 − 5 6 + 5 8

A = 3

5 + 1 5 2

A = 1

0,5

0,25

a) B =

(22)6∙(32)5− (2∙3)9∙24∙3∙5

−(23)4∙313 + 2(2∙3)11

B = 212∙310− 213∙310∙5

−212∙312 + 212∙311

B = 212 ∙310 ∙(1 −2 ∙5) 212 ∙311 ∙(−3 + 1)

B = 2(−9) 3 ∙(−2)

B = 3

0,25 0,25

0,25

2

1,0đ

Ta có: (𝑥𝑥+ 2)4 ≥0 và (2𝑦𝑦−1)2024 ≥0 Nên (𝑥𝑥+ 2)4 + (2𝑦𝑦−1)2024 ≤0 khi (𝑥𝑥+ 2)4 = 0 và (2𝑦𝑦−1)2024 = 0

Tìm được x = -2 và 𝑦𝑦= 1

2 Tính được M = 12

0,25

0,25

0,25 0,25

3

1,0đ

A = 1 + 4 + 42 + 43 + ⋯ + 489 + 490 Tổng A có 90 – 0 + 1 = 91 số hạng.

A = 1 + (4 + 42 + 43) + (44 + 45 + 46) + ⋯ + (488 + 489 + 490) A = 1 + 4(1 + 4 + 42) + 44(1 + 4 + 42) + ⋯ + 488(1 + 4 + 42)

A = 1 + 4 ∙21 + 44 ∙21 + ⋯ + 488 ∙21

A = 1 + 21 ∙(4 + 44 + ⋯ + 488 ) Vì 21 ∙(4 + 44 + ⋯ + 488 ) ⋮21 nên số dư của A khi chia cho 21 là 1.

0,25

0,25

0,25

0,25

2 3,5 đ

1 1,0đ

|2x −1| = 3 suy ra 2x −1 = 3 hoặc 2x −1 = −1 Với 2x −1 = 3 tìm được x = 2 Với 2x −1 = − 3 tìm được x = - 1. Vậy x = 2, x = - 1

0,25

0,25

0,25

0,25