Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 cụm CM 4 Bá Thước - Thanh Hóa

PHÒNG GD &ĐT BÁ THƯỚC

CỤM CHUYÊN MÔN SỐ 4

Đề thi gồm 01 trang

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2023-2024

MÔN: TOÁN – LỚP 7 Ngày thi: 31 tháng 03 năm 2024 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

1)

6 5 9

4 12 11 4 .9 6 .120 8 .3 6 A + = −

2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... 1 3 6 10 15 210 B        = − − − − −              

3) 2 2 28 9 = − C a b ab với ,a b thỏa mãn ( ) ( ) 100 2 0 3 3 1 a b − + + ≤ Câu II (4,0 điểm)

1) Tìm , , x y z biết 1 3 2 2 4 3 x y z − − − = = và 3 4 4 x y z − + = .

2) Cho đa thức  2 f x ax bx c   . Biết 21 3 5 0 a b c   . Chứng minh:    1 . 3 0 f f   Câu III (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn: 3 10 0 x y xy    . 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết 4 n + và 2n là các số chính phương. Câu IV (6,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC , D là điểm thuộc đoạn thẳng BM ( D khác B và M ). Kẻ các đường thẳng BH , CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I .

a) Chứng minh rằng : BH AI = . b) Tính góc AIM . 2) Cho tam giác ABC có  90 A = °. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Chứng minh rằng: AB AC BC AH + < + . Câu V (2,0 điểm) 1) Cho , , a b c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 ab bc ca a b c ab bc ca + + ≤ + + < + + 2) Giả sử ;p q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện

3; p q > > 2 p q − = . Chứng minh rằng 3 3 p q + chia hết cho 36.

--------- HẾT --------

Họ và tên thí sinh……………………………………………………..SBD……………..

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 04 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm

I 4,0 điểm

Tính giá trị các biểu thức sau: 4,0

1)

6 5 9 12 10 12 10

4 12 11 12 12 11 11 4 .9 6 .120 2 .3 2 .3 .5 8 .3 6 2 .3 2 .3 A + + = = − −

( ) ( )

12 10

11 11 2 .3 . 1 5 2 .3 . 2.3 1 + = −

2.6 4 3.5 5 = =

1,0

2) 1 1 1 1 1 2 5 9 14 209 1 1 1 1 ...... 1 . . . ........ 3 6 10 15 210 3 6 10 15 210 B        = − − − − − =              

4 10 18 28 418 . . . ...... 6 12 20 30 420 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1.4 2.5 . 3.6 . 4.7 ........ 19.22 2.3 . 3.4 4.5 . 5.6 ...... 20.21 =

( ) ( ) ( ) ( )

1.2.3........19 . 4.5.6.7.......22 11 2.3.4......20 . 3.4.5.6.......21 30 = =

1,5

3) Ta có : ( ) 2 3 0 a − ≥ với mọi a , ( ) 100 3 1 0 b + ≥với mọi b

suy ra ( ) ( ) 2 100 3 3 1 0 a b − + + ≥ với mọi ,a b

Do đó từ ( ) ( ) 2 100 3 3 1 0 a b − + + ≤

suy ra ( ) 2 3 0 a − = và ( ) 100 3 1 0 b + =

suy ra 3 a = , 1 3 b − =

Thay 1 3 3 , a b − = = vào biểu thức ta có:

2 2 2 2 1 1 28.3 . 9.3. 84 3 81 28 3 3 9 C a b ab −+ = −  = −  = − + = −  

1,5

II

1) Tìm , , x y z biết 1 3 2 2 4 3 x y z − − − = = và 3 4 4 x y z − + = . 2,0

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

1 3 2 1 3 9 4 8 1 3 9 4 8 2 2 4 3 2 12 12 2 12 12 − − − − − − −− + + − = = = = = = = − + x y z x y z x y z

1,0

1 3 2 2 5; 2 11; 2 8 2 4 3 − − − = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = x y z x y z

Vậy 5; 11; 8 x y z = = =

1,0

4,0 điểm

2) Cho đa thức  2 f x ax bx c   . Biết 21 3 5 0 a b c   . Chứng minh

   1 . 3 0 f f  . 2,0

Ta có:

 2 1 .1 .1 f a b c a b c       3 1 3 3 3 f a b c   

      2 3 . 3 . 3 9 3 f a b c a b c            2 3 18 6 2 f a b c    

0,5

Suy ra:

       3 1 2 3 3 3 3 18 6 2 f f a b c a b c        

   3 1 2 3 21 3 5 f f a b c     

0,5

Mà 21 3 5 0 a b c    nên    3 1 2 3 0 f f        3 1 2 3 f f   hay  3 1 f và

  2 3 f  đối nhau. 0,5

Do đó:       2 3 1 .2 3 3 1 . 3 1 9 1 0 f f f f f                  1 . 3 0 f f   0,5

III 4,0 điểm

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn: 3 10 0 x y xy    . 2,0

3 3 7 0 x xy y  

    3 3 7 x y y    

   1 3 7 x y   

0,75

Vì ,x y là các số nguyên nên ta có bảng sau:

1 x -7 -1 1 7 3 y  -1 -7 7 1 x -6 0 2 8 y -4 -10 4 -2

0,25

0,75

Vậy 6 4 x y

  

; 0 10 x y

  

; 2 …