Đề giao lưu HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Thiệu Hóa - Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THIỆU HOÁ

NĂM HỌC 2023-2024 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 16/4/2024 (Đề gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1. ( 4.0 điểm ): Thực hiện phép tính :

a) 11 5 13 36 0,5 24 41 24 41 A      b)

5 4 9

10 8 8 4 .9 2.6 2 .3 6 .20 B   

c) 10 10 10 10 ... 56 140 260 1400 C      d) D = 1 3 1 5 3 5 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21      .

Câu 2. (4.0 điểm ):

1) Tìm x, y ,z biết:

a) Cho hai số x, y thỏa mãn :  

2024 2022 2023 0 x y     . Tính D = x + y

b) 3 2 2 4 4 3 4 3 2 x y z x y z      và 72 x y z   

2) Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x+2 dư 10, chia cho x - 2 dư 22, chia cho x2 - 4 được thương là x + 3 và còn dư.

Câu 3. ( 4.0 điểm):

a) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn:   2 5 4 9 x x y y     b) Cho , , , a b c d là các số nguyên thỏa mãn 2 2 2 2    a b c d . Chứng minh rằng: 2023  abcd viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương?

Câu 4. (6.0 điểm):

1) Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của HABcắt BC tại D. Kẻ DK  AB (K  AB). Chứng minh:

a/ AH = AK b/ ∆ACD cân

2) Cho 0 A 75  . Điểm D trên cạnh BC sao cho các tam giác ABD và ACD là các tam giác

cân. Tính số đo của B, C

Câu 5. (2.0 điểm): Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn và là một số chính phương.

---------------- Hết --------------- Họ tên thí sinh:............................................................SBD........................................

2 a b   1 ab 

Đề chính thức

UBND HUYỆN THIỆU HÓA PHÒNG GIÁO DỤC THIỆU HÓA

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH

GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN: TOÁN

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu

1

4.0 đ

a

11 5 13 36 0,5 24 41 24 41 11 13 5 36 0,5 24 24 41 41 1 1 0,5 0,5

A     

    

 

0.5

0.5

b

5 4 9

10 8 8

10 8 9 9 10 8 10 9

10 8 8 8 2 10 8 10 8

10 8

10 8

4 .9 2.6 2 .3 6 .20 2 .3 2.2 .3 2 .3 2 .3 2 .3 2 .3 .2 .5 2 .3 2 .3 .5 2 .3 (1 3) 2 1 2 .3 (1 5) 6 3

B                

0,5

0,5

c

10 10 10 10 5 5 5 5 ... ... 56 140 260 1400 28 70 130 700 5 5 5 5 ... 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 4 7 7 10 10 13 25 28

C          

    

              

5 1 1 5 7 1 5 6 5 . 3 4 28 3 28 28 3 28 14                  

0.25

0.25

0.5

d

1 3 1 5 3 5 1 3 1 5 3 5 4. 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21                 

4 3 7 4 8 7 13 8 16 13 21 16 4. 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21                  

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4. 3 4 4 7 7 8 8 13 13 16 16 21                  

1 1 2 8 4. 4. 3 21 7 7          

0,25

0,25 0,25 0,25

Câu

2

4.0 đ

1.a

Vì     2024 2024 2022 0; 2023 0 2022 2023 0 x y x y          Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = -2022; y = 2023 Do đó D = x + y = 1

0,25

0,5 0,25

1.b

3 2 2 4 4 3 à 72 4 3 2 x y z x y z v x y z        

Ta có:

     

3 2 2 4 4 3 4 3 2 4 3 2 3 2 4 2 4 3 12 8 6 12 8 6 4.4 3.3 2.2 16 9 4 12 12 8 8 6 6 0 0 29 29

x y z x y z

x y z x y z x y z x y z

x x y y z z

    

                     

Do đó:

3 2 2 3

2 4 2 4

4 3 4 3

x y x y

x z z x

z y y z

  

  

  

Suy ra: 2 3 4 x y z  

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có

72 8 2 3 4 2 3 4 9 16; 24; 32

x y z x y z

x y z

            

0.25

0.25

0.25

0.25

2

Vì đa thức f(x) chia cho x2 – 4 còn dư, và đa thức chia là x2 – 4 có bậc hai nên đa thức dư có bậc nhỏ hơn hai. Đặt đa thức dư là ax +b (a, b là hằng số) Khi đó f(x) = (x2 - 4)( x + 3) + ax + b Ta có: f(x) chia cho x+2 dư 10 nên f(x) = (x+2).g(x) +10 Do đó f(-2) = 10 2 10 a b    (1) Tương tự: 2 22 a b    (2)

Từ (1) và (2) Ta có

2 10 3 2 22 16 a b a a b b              

Do đó: f(x) = (x2 -4).(x+3) + 3x+16 = x3 +3x2 - 4x -12 +3x + 16 = x3 +3x2 - x +4 Vậy f(x) = x3 +3x2 - x +4

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

0,25

Câu

3 4.0 điểm

a

Ta có:   2 …