Chuyên đề hình học giải tích không gian - Lưu Huy Thưởng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG

HÀ NỘI, 8/2013

HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………

LỚP :………………………………………………………………….

TRƯỜNG :…………………………………………………………………

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1

CHUYÊN ĐỀ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: MỞ ĐẦU

I. VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa và các phép toán

• Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.

• Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC + =

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC + =

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: ' ' AB AD AA AC + + =

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: 0 IA IB + =

; 2 OA OB OI + =

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý.

Ta có: 0; 3 GA GB GC OA OB OC OG + + = + + =

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý.

Ta có: 0; 4 GA GB GC GD OA OB OC OD OG + + + = + + + =

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: ( 0) ! : ≠ ⇔∃ ∈ = a vaø b cuøng phöông a k R b ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý.

Ta có: ;

1 OA kOB MA kMB OM

k − = =

−

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , , a b c

, trong đó a vaø b

không cùng phương. Khi đó: , , a b c

đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c ma nb = +

• Cho ba vectơ , , a b c

không đồng phẳng, x tuỳ ý.

Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x ma nb pc = + +

3. Tích vô hướng của hai vectơ

• Góc giữa hai vectơ trong không gian:

0 0 , ( , ) (0 180 ) AB u AC v u v BAC BAC = = ⇒ = ≤ ≤

GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899

BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho , 0 u v ≠ . Khi đó: . . .cos( , ) u v u v u v =

+ Với 0 0 u hoaëc v = = . Qui ước: . 0 u v =

+ . 0 u v u v ⊥ ⇔ =

+ 2 u u =

II. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi , , i j k là các vectơ đơn vị,

tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý: 2 2 2 1 i j k = = = và . . . 0 i j i k k j = = = .

2. Tọa độ của vectơ:

a) Định nghĩa: ( ) ; ; u x y z u xi yj zk = ⇔ = + +

b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3 ( ; ; ), ( ; ; ), a a a a b b b b k R = = ∈

• 1 1 2 2 3 3 ( ; ; ) a b a b a b a b ± = ± ± ±

• 1 2 3 ( ; ; ) ka =

• 1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 =  = ⇔ =  = 

• 0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1) i j k = = = =

• a cùng phương ( 0) b b ≠ ⇔ ( ) a kb k R = ∈

1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

, ( , , 0)

a kb a a a a kb b b b b b b a kb

 =  ⇔ = ⇔ = = ≠  = 

• 1 1 2 2 3 3 . . . . a b a b a b a b = + + • 1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b ⊥ ⇔ + + =

• 2 2 2 2 1 2 3 a a a a = + + • 2 2 2 1 2 2 a a a a = + +

• 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

. cos( , ) . .

a b a b a b a b a b a b a a a b b b

+ + = = + + + +

(với , 0 a b ≠ )

3. Tọa độ của điểm: