Phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian - Nguyễn Hồng Điệp

Nguyễn Hồng Điệp

1 Các công thức

1. Vectơ trong không gian Trong không gian cho các vectơ −→ u1= x1, y1,z1 , −→ u2 = x2, y2,z2 và sốk tùy ý

• −→ u1 = −→ u2 ⇔

 



x1 = x2 y1 = y2 z1 = z2

• −→ u1 ± −→ u2 = x1 ± x2, y1 ± y2,z1 ± z2

• k−→ u1 = k x1,k y1,kz1

• Tích có hướng: −→ u1.−→ u2 = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 Hai vectơ vuông góc nhau ⇔−→ u1.−→ u2 = 0 ⇔x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 = 0

• −→ u1 = Æ

x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 • Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ 0◦⩽ϕ ⩽180◦

cosϕ = cos −→ u1,−→ u2 = −→ u1.−→ u2 −→ u1 . −→ u2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 Æ

x 2 1 + y 2 1 + z 2 1. Æ

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

• −→ AB = xB −xA, yB −yA,zB −zA

AB = Ç

(xB −xA)2 + yB −yA 2 + (zB −zA)2

• Tọa độcác điểm đặc biệt:

⋆Tọa độtrung điểm I của AB: I xA + xB

2 , yA + yB

2 , zA + zB

2

‹

⋆Tọa độtrọng tâm G của tam giác ABC : G xA + xB + xC

3 , yA + yB + yC

3 , zA + zB + zC

3

‹

⋆Tọa độtrọng tâm G của tứdiện ABC D :

G xA + xB + xC + xD

4 , yA + yB + yC + yD

4 , zA + zB + zC + zD

4

‹

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cảhai vectơ xác định bởi

−→ u = −→ u1,−→ u2 =

y1 z1 y2 z2

,

z1 x1 z2 x2

,

x1 z1 x2 z2

• Một sốtính chất của tích có hướng

⋆−→ a và −→ b cùng phương ⇔ h−→ a ,−→ b i = −→ 0

A,B,C thẳng hàng ⇔ h−→ AB,−→ AC i = −→ 0

⋆Ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng ⇔ h−→ a ,−→ b i .−→ c = 0

Bốn điểm A,B,C ,D không đồng phẳng ⇔ h−→ AB,−→ AC i .−→ AD ̸= −→ 0

⋆ h−→ a ,−→ b i = −→ a . −→ b .sin −→ a ,−→ b

• Các ứng dụng của tích có hướng

⋆Diện tích hình bình hành: SABC D = ”−→ AB,−→ AD —

3

Nguyễn Hồng Điệp

⋆Diện tích tam giác: SABC = 1

2

h−→ AB,−→ AC i

⋆Thểtích khối hộp: VABC D.A′B ′C ′D ′ = ”−→ AB,−→ AD — .−→ AA′

⋆Thểtích tứdiện: VABC D = 1

6

h−→ AB,−→ AC i .−→ AD

2. Phương trình mặt phẳng

• Phương trình tổng quát (α): a x + b y + c z + d = 0 với (a 2 + b 2 + c 2 ̸= 0).

• Phương trình mặt phẳng (α) qua M x0, y0,z0 và có vectơ pháp tuyến −→ n = (a,b,c )

(α): a (x −x0) + b y −y0 + c (z −z0) = 0

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α) qua A(a,0,0);B(0,b,0);C (0,0,c )

(α): x −x0

a + y −y0

b + z −z0

c = 1, với a,b,c ̸= 0

• Nếu −→ n = (a,b,c ) là vectơ pháp tuyến của (α) thì k−→ n ,k ̸= 0 cũng là vectơ pháp tuyến của (α). Do đó một mặt phẳng có vô sốvectơ pháp tuyến. Trong một sốtrường hợp ta có thểtìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trịcụthểcho a (hoặc b hoặc c ) và tính hai giá trịcòn lại đảm bảo đúng tỉlệa : b : c .

3. Góc

• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là −→ nα, mặt phẳng β

có vectơ pháp tuyến −→ nβ, khi đó góc giữa (α) và β được tính bằng

cos (α), β = cos −→ nα,−→ nβ =

−→ nα.−→ nβ −→ nα . −→ nβ

• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có các vectơ chỉphương là −→ u1 và −→ u2, khi đó góc giữa d1 và d2 tính bằng

cos(d1,d2) = cos −→ u2,−→ u2 =

−→ u1.−→ u2 −→ u1 . −→ u2

4

Nguyễn Hồng Điệp

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉphương là −→ u , mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là −→ n , khi đó góc giữa d và (α) là ϕ được tính bằng

sinϕ =

−→ u .−→ n −→ u . −→ n

4. Khoảng cách

• Khoảng cách từđiểm A x0, y0,z0 tới (α) : a x + b y + c z + d = 0 là

d (A,(α)) =

a x0 + b y0 + c z0 + d p

a 2 + b 2 + c 2

• Khoảng cách từđiểm M tới đường thẳng ∆qua M0 và có vectơ chỉphương −→ u là

d (A,∆) =

”−−−→ M M0,−→ u — −→ u

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 biết ∆1 qua M1 và có vectơ chỉ phương −→ u1; ∆2 qua M2 và có vectơ chỉphương −→ u2

d (∆1,∆2) =

−→ u1,−→ u2 .−−−→ M1M2 −→ u1,−→ u2

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và β song song nhau là khoảng cách từM0 ∈(α) tới β .

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song nhau là khoảng cách từM1 ∈∆1 tới ∆2.

• Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) song song nhau là khoảng cách từ điểm M0 ∈d tới (α).

5