Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH

HỌC KHÔNG GIAN Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian Ta có: Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Do đó, nếu hình vẽ bài toán cho có chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các cạnh đó làm trục tọa độ. Cụ thể:

1. Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ sao cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a)

Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c)

2. Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’

Chọn hệ trục tọa độ sao cho:

 Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD

 Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

3. Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông Khi đó

2 2 2 2 ( ;0;0); ( ;0;0); ; (0; ;0); (0; ;0) 2 2 2 2 (0;0; )

a a a a A C B D

S h

 

4. Với hình chóp tam giác đều S.ABC

cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h. Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) Khi đó:

( ;0;0); ( ;0;0) 2 2 3 3 (0; ;0); (0; ; ) 2 6

a a A B

a a C S h



cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O

tính 3 3 3 3 , 2 2 3 6 a a a CI AB CH HI      => suy ra dc tọa độ các đỉnh

3 3 3 ( ; ;0) 0 ; ( ; ;0) 0 , (0; ;0) ; 2 6 2 6 3 3 3 (0; ; ) 0 ; (0; ;0) 0 6 6

a a a a a A xy B xy C oy

a a S h yz I y

     

   

cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục sao cho A= O (0;0;0),

3 ( ; ;0) 0 ; 2 6 3 ( ; ;0) 0 , 2 6 3 (0; ; ) 3

a a B xy

a a C xy

a S h oz



 



5. Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD)

ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = b và chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h)

6. Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)

ABCD là hình thoi cạnh a và chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0)

7. Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuông tại A

Tam giác ABC vuông tại A có AB = a; AC = b đường cao bằng h. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) 8. Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và Δ ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có BA = a; BC = b đường cao bằng h. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h)

9. Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại C

ΔABC vuông tại C với CA = a; CB = b và chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h)

10. Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân tại S và Δ ABC vuông tại A

hình a) ΔABC vuông tại A: AB = a; AC = b và chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h)

hình b) Tam giác ABC vuông cân tại C có CA = CB = a đường cao bằng h. H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

Khi đó: (0; ;0), (0, ;0); ( ;0;0) (0;0; ) 2 2 2 a a a A B C S h 

11.Hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại O

z

y

x

O

Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán:

Các dạng câu hỏi thường gặp 1.khoảng cách giữa 2 điểm : (ý phụ)  Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:

2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z      

2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d)

Cách 1:( d đi qua M0 có vtcp u )

0 [M , ] ( , ) M u d M u 