Tuyển tập một số bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian - Lưu Huy Thưởng

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 1 -

TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

https://www.facebook.com/ThuongToan.hocmai

Biên soạn: Lƣu Huy Thƣởng

HT 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1). Gọi  P là mặt phẳng đi qua

điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng  P đi qua điểm nào sau

đây?

A.   1 M 1;2;0 . B.   2 M 1; 2;0 .  C.   3 M 1;2;0 .  D.   4 M 1; 2;0 .  

Hƣớng dẫn

Cách 1: Phƣơng pháp hình học

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng  P

Ta có: OH OA. 

Để    d O, P max OH OA    H A 

  OA P  hay OA là một vec-tơ pháp tuyến của  P

Ta có:      

P quaA 1;1;1

P nhanOA 1;1;1 la1vtpt

  

Phương trình tổng quát của  P là:

      1. x 1 1. y 1 1. z 1 0 x y z 3 0.           

 P  đi qua điểm   1 M 1;2;0 . Chọn đáp án A.

Cách 2: Phƣơng pháp đại số

P

H ≡A P A

O

O

H

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 2 -

Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Với mọi số 1 2 3 1 2 3 a ,a ,a ,b ,b ,b ta luôn có:

     2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b       

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi: 3 1 2

1 2 3

a a a b b b  

Mặt phẳng  P qua   A 1;1;1  Phương trình tổng quát của  P có dạng:

2 2 2 Ax By Cz A B C 0 (A B C 0).         

Khoảng cách từ O đến  P :

   2 2 2 A B C d O; P A B C

    

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số ta được:

    2 2 2 2 2 2 2 A B C 1 1 1 A B C       

   2 2 2 2 2 2 A B C 1 1 1 A B C        

2 2 2 A B C 3. A B C

     

Dấu " "  xảy ra khi: A B C 1 1 1   Chọn

A 1

B 1

C 1

        

Phương trình  P : x y z 3 0.    

 P  đi qua điểm   1 M 1;2;0 . Chọn đáp án A.

HT 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)  . Gọi  P là mặt phẳng đi qua

điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng  P đi qua điểm nào sau

đây?

A.   1 M 1; 2;2 .   B.   2 M 1; 2; 2 .   C.   3 M 1; 2;2 .  D.   4 M 1;2;2 .

Hƣớng dẫn

Cách 1: Phƣơng pháp hình học – Học sinh tự làm 

Cách 2: Phƣơng pháp đại số

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học PEN – C Toán trắc nghiệm (Thầy Lưu Huy Thưởng)

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 6933 - Trang | 3 -

Mặt phẳng  P qua A(2; 1;1)   Phương trình tổng quát của  P có dạng:

2 2 2 Ax By Cz 2A B C 0 (A B C 0).         

Khoảng cách từ O đến  P :

   2 2 2 2A B C d O; P A B C

    

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 6 số ta được:

       2 2 2 2 2 2 2 A B C 2 1 1 2A B C       

     

2 2 2 2 2 2 A B C 2 1 1 2A B C        

2 2 2 2A B C 6. A B C

     

Dấu " "  xảy ra khi: A B C 2 1 1    

A 2B C B      

Chọn

A 2

B 1

C 1

       

Phương trình  P : 2x y z 6 0.    

 P  qua 3 M

Chọn đáp án C