Hướng dẫn giải một số bài tập tọa độ trong không gian nâng cao - Phạm Minh Tuấn

Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: 3 5 1;log 5;log 2 , 3;log 3;4 m u v 1;log 5;log 2 u 1;log 5;log 2 1;log 5;log 2 là góc nhọn. Chọn

phương án đúng và đầy đủ nhất.

A. 1 , 1 2 m m ! z B. 1 m ! hoặc 1 0 2 m

C. 1 0 2 m D. 1 m !

¾ Giải:

™ Ta có

3 5 3 log 5.log 3 4log 2 . cos , . .

m u v u v u v u v . Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta

đi tìm điều kiện để tử sốdương.

™ Mặt khác ! œ ! 3 5 3 log 5.log 3 4log 2 0 4log 2 4 m m œ ! œ ! 1 log 2 1 log 2 log m m m m

™ Với 0 1 m thì œ ! œ 1 1 2 . 2 m m Kết hợp với điều kiện suy ra 1 0 . 2 m

™ Với 1 m ! thì œ œ ! 1 1 2 . 2 m m Kết hợp điều kiện suy ra 1. m !

™ Vậy 1 m ! hoặc 1 0 2 m

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3 3 2 37 0 x y z các

điểm 4;1;5 A , 3;0;1 B , 1;2;0 C . Điểm ; ; M a b c thuộc (P) sao cho biểu thức

. . . P MAMB MB MC MC MA đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c bằng:

A. 10 B. 13 C. 9 D. 1

¾ Giải:

™ 2 2 2 ; ; 3 2 1 2 5 ª º Ÿ ¬ ¼ M a b c P a b c

™ 3 3 2 37 0 3 2 3 1 2 2 44  Ÿ œ M P a b c a b c

™ Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

44 3 2 3 1 2 2 3 3 2 2 1 2

44 2 1 2 88 3 3 2

ª º ª º d ¬ ¼ ¬ ¼

Ÿ t

a b c a b c

a b c

™ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2 1 2 4;7; 2 1 3 3 2 œ Ÿ a b c M a b c

_____________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________

Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com

HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao

™ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 2 0 x y và

đường thẳng

2 1 1 1 0 : 2 1 4 2 0

­ °® °¯

m m x m y m d mx m z m ( m là tham số ). Tìm m để đường

thẳng m d song song với mặt phẳng (P).

A. 1 2 m B. 1 m C. 1 2 m D. 1 m

¾ Giải:

™ m d // œ P hệPT ẩn x , y, z sau vô nghiệm:

2 2 0

2 1 1 1 0

2 1 4 2 0

­ ° ® ° ¯

x y

m x m y m

mx m z m

™ (1) 2 2 Ÿ y x . Thay vào (2) ta được: 1 2 4 3 3 Ÿ m m x y

™ Thay x, y vào (3) ta được: 2 1 2 1 11 6 3 m z m m . Để PT này vô nghiệm thì

1 2 m

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm 1;3;9 M và

cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại ;0;0 A a , 0; ;0 B b , 0;0; C c với a, b, c là các số thực

dương. Tìm giá trị của biểu thức P a b c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 44 P B. 39 P C. 27 P D.

16 P

¾ Giải:

™ 1 1 . . 6 6 OABC V OAOB OC abc

™ Phương trình mặt phẳng đi qua A, B ,C : 1 x y z a b c

™ Vì 1 3 9 1  Ÿ M ABC a b c

™ Áp dụng BĐT Côsi: 3 1 3 9 1 3 9 27.27 1 1 3 . . 1 121,5 6 OABC abc minV a b c a b c abc t Ÿ t Ÿ t

_____________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________

Tác giӚ: PHӗM MINH TUӛN - TOANMATH.com

HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao