Các dạng toán phương trình mặt phẳng - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ 0 n    là vectơ pháp tuyến (VTPT) của   nếu giá của n vuông góc với  .

• Hai vectơ , a b   không cùng phương là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của   nếu các giá của chúng song song hoặc nằm

trên  .

Chú ý:

• Nếu n là một VTPT của   thì   0 kn k   cũng là VTPT của  .

• Nếu , a b   là một cặp VTCP của   thì , n a b        là một VTPT của  .

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng 0 Ax By Cz D     với 2 2 2 0 A B C    .

• Nếu   có phương trình 0 Ax By Cz D     thì   ; ; n A B C   là một VTPT của  .

• Phương trình mặt phẳng đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và có một VTPT   ; ; n A B C   là:

      0 0 0 0 A x x B y y C z z       .

c) Các trường hợp đặc biệt

Các hệ số Phương trình mặt phẳng   Tính chất mặt phẳng  

0 D  0 Ax By Cz      đi qua gốc tọa độ O .

0 A  0 By Cz D    Ox  hoặc  Ox  .

0 B  0 Ax Cz D    Oy  hoặc  Oy  .

0 C  0 Ax By D    Oz  hoặc  Oz  .

0 A B   0 Cz D     Oxy  hoặc    Oxy  .

0 A C   0 By D     Oxz  hoặc    Oxz  .

0 B C   0 Ax D     Oyz  hoặc    Oyz  .

2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

Chú ý:

• Nếu trong phương trình   không chứa ẩn nào thì   song song hoặc chứa trục tương ứng.

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 1 x y z a b c     . Ở đây   cắt các trục toạ độ tại các điểm

    ;0;0 , ;0;0 , ;0;0 a b c với 0 abc  .

2. Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho điểm   ; ; A A A A x y z và mặt phẳng : 0 Ax By Cz D      .

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   được tính theo công thức 

2 2 2 , A A A Ax By Cz D d A A B C            

.

3. Vị trí tương đối

a) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 : 0 A x B y C z D      và  2 2 2 2 : 0 A x B y C z D     

•     1 1 1 1

2 2 2 2 A B C D

A B C D     .

•    1 1 1 1

2 2 2 2 A B C D

A B C D     .

•     1 1

2 2 A B

A B   hoặc 1 1

2 2

B C

B C  .

•    1 2 1 2 1 2 0 A A B B C C     .

b) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng và mặt cầu : 0 Ax By Cz D      và

      2 2 2 2 : S x a y b z c R       .

Để xét vị trí của   và  S ta làm như sau:

•Bước 1. Tính khoảng cách từ tâm I của  S đến  .

•Bước 2.

+ Nếu  , d I R        thì   không cắt  S .

+ Nếu  , d I R        thì   tiếp xúc  S tại H . Khi đó H được gọi là tiếp điểm, là hình chiếu vuông góc của I lên   và

  được gọi là tiếp diện.

Tài liệu toán 12 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 3

+ Nếu  , d I R        thì   cắt  S theo đường tròn có phương trình     

2 2 2 2 ) : 0

x a y b z c R C Ax By Cz D

            

.

Bán kính của  C là  2 , r R d I         .

Tâm J của  C là hình chiếu vuông góc của I trên  .

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  1 1 1 1 : 0 A x B y C z D      và  2 2 2 2 : 0 A x B y C z D      .

Góc giữa   và   bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT , n n    . Tức là

    1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2

. cos , cos , . . .

n n A A B B C C n n n n A B C A B C

 

 

            

     

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình:mx + m(m - 1)y − (m2 − 1)z - 1 = 0. (1) a. Tìm điều kiện của m để phương trình (1) là phương trình của một mặt phẳng, gọi là họ (Pm). b. Tìm điểm cố định mà họ (Pm) luôn đi qua. c. Giả sử (Pm) với …