Đường thẳng trong hệ trục Oxyz (VD - VDC) - Nguyễn Xuân Chung

1 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung

ĐƯỜ G THẲ G TRO G HỆ TRỤC OXYZ (VD - VDC)

I. CÁC VẤ ĐỀ VÀ VÍ DỤ GIẢI TOÁ 1. Vấn đề 1: Lập phương trình đường thẳng

Trong phần này chúng ta nghiên cứu giải một số bài toán về đường thẳng trong hệ tọa không gian Oxyz ở mức vận dụng và vận dụng cao. Trong đó có các mối liên hệ bao gồm điểm - đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu, nhưng chủ đề là đường thẳng. Như lập phương trình đường thẳng. Có một số bài toán mà đề bài cho giả thiết về đường thẳng, nhưng trong bài làm ta rất ít sử dụng đến kiến thức về đường thẳng trong không gian, chẳng hạn ta xét ví dụ sau Ví dụ 1. (BGD - Đề thi chính thức THPTQG 2018 M101 C39)

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 1 1 9 S x y z + + + + + = và điểm ( ) 2;3; 1 A − . Xét các

điểm M thuộc ( ) S sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( ) S . Điểm M luôn thuộc mặt phẳng có

phương trình là A. 6 8 11 0 x y + + = . B. 3 4 2 0 x y + + = . C. 3 4 2 0 x y + − = . D. 6 8 11 0 x y + − = .

Hướng dẫn.

Gọi ( ) 1; 1; 1 − −− I là tâm mặt cầu, ta có tam giác AMI vuông tại M nên điểm M thuộc mặt cầu đường

kính AI có tâm 1 ;1; 1 2   −     K , bán kính 5

2 , phương trình là ( ) ( ) ( )

2 2 2 1 25 ' : 1 1 2 4   − + − + + =     S x y z .

Như vậy điểm ( ) ; ; M x y z thuộc cả hai mặt cầu ( ) ( ) , ' S S nên trừ các vế ta được:

3 11 3 4 3 4 2 0 4 4 + + = ⇔ + − = x y x y . Chọn C.

Lời bình. Sau khi giải một bài chúng ta không dừng lại ở bài giải, mà tự đặt ra câu hỏi là: bài này nói về kiến thức gì? Cần kỹ năng gì? Từ đó chúng ta xác định vấn đề cần giải quyết hay mở rộng cho các bài toán tương tự. Chúng ta có thể nhìn nhận bài toán dưới 3 hình thức: - Thứ nhất: điểm M xem như giao của hai mặt cầu tâm I và tâm K.

- Thứ hai: nếu ta tính AM = 2 2 2 2 =cons − = − = AI IM AI R t r khi đó điểm M là giao của mặt cầu

tâm A, bán kính r với mặt cầu tâm I đã cho. - Thứ ba: điểm M có giới hạn chính xác là một đường tròn giao tuyến, chứ không đơn thuần chỉ nằm

trên mặt phẳng. Mặt phẳng này có véc tơ pháp tuyến là IA

. Từ đó ta liên hệ với các kiến thức lớp 11 và lớp 9. Nói cách khác: chúng ta khai thác các kiến thức về hình học lớp 9, lớp 10, lớp 11 hay lớp 12 đều được, tùy theo đối tượng HS để triển khai. Tức là hình học tổng hợp hoặc tọa độ hóa. Đối với HS thì vừa cụ thể, vừa trừu tượng lại có tính khái quát. Như thế ta rèn luyện tư duy khá tốt cho các em về vị trí tương đối giữa điểm - đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu.

Ví dụ 2. (BGD - Đề thi chính thức THPTQG 2017 M101 C37)

Trong không hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

1 3

: 2 2

= +   = −+  = 

x t

d y t z

, 2 1 2 : 2 1 2 − + = = − x y z d và mặt

phẳng ( ):2 2 3 0 + − = P x y z . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm

của 1d và ( ) P , đồng thời vuông góc với 2 d ?

A. 2 2 22 0 − + + = x y z . B. 2 2 13 0 − + + = x y z . C. 2 2 13 0 − + − = x y z . D. 2 2 22 0 + + − = x y z .

2 Diendangiaovientoan GV: Nguyen Xuan Chung

Hướng dẫn.

hận xét: Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm cùng phương với ( ) 2 2; 1;2 = − u

nên loại đáp án D.

Ta tìm giao điểm M của 1d và ( ) P , ghi ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 2 + + −+ −× X X bấm Shift Solve ta có X = 1 = t.

Sửa thành ( ) ( ) 2 1 3 2 2 2 + −−+ + × X X bấm = ta có 13 nên chọn C.

Lời bình. Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm tham số t, chỉ khác hơn ở đây ta chọn máy tính

để giải mà thôi. Chẳng hạn ta làm tự luận là: ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 2 0 1 + + −+ −× = ⇒= t t t rồi thay trở về ta có

giao điểm ( ) 4; 1;2 − M sau đó viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) ( ) 2 4 1 2 2 0 − − + + − = x y z . Rõ ràng ta

lặp lại một số thao tác mà trong khi không sử dụng máy tính? Nếu vậy thì làm sao đủ thời gian? Bài toán trên có liên quan đến đường thẳng trong không gian, nhưng lại hỏi về mặt phẳng. Đối với HS: Bài toán cho đường thẳng tham số và chính tắc, lại có cả mặt phẳng nên dễ bị rối hay lúng túng trong giải toán. Nhiệm vụ của GV là dẫn dắt các em tiếp cận dưới góc độ dễ hiểu nhất có thể được, kết …