Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian - Nguyễn Tăng Vũ

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Nguyễn Tăng Vũa)

(Dated: Ngày 11 tháng 4 năm 2020)

I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa 1. Vectơ −→ n ̸= −→0 có giá vuông góc với đường thẳng ∆gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

Tính chất 1. Ta có các tính chất sau:

(a) Các vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng thì cùng phương.

(b) Hai đường thẳng song song thì vectơ phát tuyến cùng phương.

(c) Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến vuông góc.

Định lý 1. Trong mặt phẳng tọa độcho điểm I(x◦; y◦), vectơ −→ n . Đường thẳng qua I nhận −→ n = (a; b) là vectơ pháp tuyến có phương trình:

a(x −x◦) + b(y −y◦) = 0

Định lý 2. Trong mặt phằng tọa, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng

ax + by + c = 0

với a2 + b2 ̸= 0.

Trong đó −→ n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Định lý 3. (Phương trình đoạn chắn) Phương trình đường thẳng qua điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b ̸= 0) là

x a + y

b = 1

Định nghĩa 2. Xét đường thẳng ∆: y = kx + m cắt Ox tại M. Tia Mt phía trên trục hoành. Gọi α là góc tạo bởi tia Mt và tia Ox. Khi đó tan α được gọi là hệsốgóc của ∆và k = tan α.

Ví dụI.1

Cho đường thẳng a : 3x + 4y + 1 = 0.

(a) Tìm một vectơ pháp tuyến của a.

(b) Trong các điểm sau, điểm nào thuộc a: A(−1; 0), B(1; −1), C(0, 1).

(c) Tìm điểm thuộc a mà hoành độbằng hai lần tung độ.

(d) Điểm M(3; 2) có thuộc a không? Nếu M không thuộc a, hãy viết phương trình đường thẳng qua M song song với a.

a)www.geosiro.com

Lời giải

(a) Một vectơ pháp tuyến của (a) là : −→ n = (3; 4).

(b) Thay tọa độđiểm A, B, C vào đường thẳng (a) ta có: Điểm A: 3.(−1)+4.0+1 = −2 ̸= 0 nên A không thuộc (a). Điểm B : 3.1 + 4.(−1) + 1 = 0 nên B thuộc (a). Điểm C: 3.0+4.1+1 = 5 ̸= 0 nên C không thuộc (a).

(c) Gọi D là điểm thuộc (a) mà hoành độbằng hai lần tung độ. Khi đó ta có: xD = 2yD. Thay tọa độđiểm D vào ta có:

3yD + 4yD + 1 = 0 ⇔7yD + 1 = 0 ⇔yD = −1

7 Với yD = −1

7 ⇒xD = −2

7 Vậy tọa độđiểm D là D(−2

7 ; −1

7 )

(d) Thay tọa độđiểm M vào phương trình đường thẳng (a) ta có: 3.3 + 4.2 + 1 = 18 ̸= 0 nên M không thuộc đường thẳng a Gọi (b) là đường thẳng đi qua M và song song với (a) Ta có: −→ nb = −→ na = (3; 4) Phương trình đường thẳng (b) là: 3(x −3) + 4(y −2) = 0 ⇔3x + 4y −−17 = 0

Ví dụI.2

Cho đường thẳng (d) : ax + 2y + c = 0.

(a) Tìm a biết vectơ pháp tuyến của d cùng phương với −→ n = (2; 1).

(b) Tìm c biết đường thẳng qua điểm M(−1; 5).

Lời giải

(a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là: −→ nd = (a; 2) Do vectơ pháp tuyến của (d) cùng phương với −→ n = (2; 1) nên ta có: a 2 = 2

1 ⇒a = 4

(b) Điểm M thuộc vào đường thẳng (d) nên thay tọa độđiểm M vào phương trình đường thẳng (d) ta có: 4.(−1) + 2.5 + c = 0 ⇔c = −6

Ví dụI.3

Cho tam giác ABC có A(−1; 1), B(2, −1), C(0, 4).

(a) Viết phương trình đường cao AH.

2

(b) Viết phương trình đường trung trực của BC.

(c) Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

(a) Ta có: −−→ BC = (−2, 5) Mà BC ⊥AH nên −−→ nAH = −−→ BC = (−2; 5) Đường thẳng AH đi qua điểm A và nhận −−→ BC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng AH là: −2(x + 1) + 5(y −1) = 0 ⇔−2x + 5y −7 = 0 ⇔2x −5y + 7 = 0

(b) Gọi I là trung điểm của B, C. Khi đó tọa độ điểm I là:  



xI = xB + xC

2 yI = yB + yC

2

⇔

( xI = 1

yI = 3

2 Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua I nhận −−→ BC làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường trung trực của BC là:

−2(x −1) + 5(y −3

2) = 0

⇔−2x + 5y −11

2 = 0 ⇔4x −10y + 11 = 0

(c) Ta có: −−→ AB = (3, −2) khi đó ta có: −−→ nAB = (2; 3). Phương trình đường thẳng AB là: 2(x + 1) + 3(y −1) = 0 ⇔2x + 3y −1 = 0

II. VỊTRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Tính chất 2. Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 = 0; ∆: a2x + b2y + c2 = 0. Khi đó

• ∆1, ∆2 cắt nhau ⇔a1 a2 ̸= b1

b2 ; Khi đó tọa độgiao điểm

là nghiệm của hệphương trình a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0

• ∆1||∆2 ⇔a1 a2 = b1

b2 ̸= c1

c2

• ∆1 ≡∆2 ⇔a1 a2 = b1

b2 = c1

c2

Ví dụII.1

Cho đường thẳng a : 2x −3y + 1 = 0 và điểm A(1; 2).

(a) Viết phương trình đường thẳng qua A …