Các bài toán chọn lọc trong hệ tọa độ Oxyz (phần 1) - Nguyễn Xuân Chung

1 GV: Nguyen Xuan Chung

PHẦN 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ BỔ XUNG. CÔNG THỨC TÍNH NHANH.

Trong phần này chúng ta nghiên cứu các bài toán điển hình trong hệ tọa độ Oxyz

chỉ thiên về tính toán: Nghĩa là từ các số liệu và dữ kiện đã cho, chúng ta đi thiết lập các

phương trình hay các hệ thức có liên quan và giải ra đáp số cần tìm.

Phần này là các bài toán sưu tầm được chọn lọc và có tính tổng hợp, nghĩa là tổ

hợp của nhiều bài toán nhỏ, bao gồm nhiều kiến thức có liên quan. Nói cách khác: Đây

là các bài toán để ôn tập và luyện thi.

Chúng ta có thể phân dạng, loại toán theo nhiều cách hay theo các hình thức nào

đó, một bài toán có thể được nằm trong nhiều dạng toán khác nhau, do đó không thể

định dạng chung cho tất cả các bài toán. Trong phần này tôi cố gắng biên soạn các bài

toán theo các chủ đề, hay theo phương pháp giải hoặc theo dạng toán đặc trưng của nó.

Để đáp ứng ôn tập và luyện thi, đặc biệt là thi trắc nghiệm, thì ngoài các kiến thức

cơ bản và cách giải tự luận, yêu cầu các em cần bổ xung thêm các kiến thức, một số kết

quả hay một số công thức tính nhanh, kết hợp với máy tính CASIO.

I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ.

1. Tóm tắt kiến thức cơ bản.

 Trong hệ Oxyz, điểm   ; ; . . . M a b c OM a i b j c k         .

 Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là   ;0;0 A a ,…

 Hình chiếu vuông góc của M trên mp(Oxy) là   ; ;0 H a b ,…

 Cho   ; ; u x y z   và   ' '; '; ' u x y z  

 Tích vô hướng:   . ' . ' .cos , ' u u u u u u     ; . ' . ' . ' . ' u u x x y y z z     ; . 0 u v u v      

 Công thức tính độ dài

2 2 2 2 2 2 2. u x y z u x y z         

2 GV: Nguyen Xuan Chung

 Công thức tích có hướng

 Định nghĩa: Tích có hướng của   ; ; u x y z   và   ' '; '; ' u x y z   là một véc tơ có tọa

độ xác định bởi công thức:

' ; ; ( ' '; ' '; ' ') ' ' ' ' ' '

y z z x x y u u yz zy zx xz xy yx y z z x x y

           

  w   .

 Tính chất: ' u u    = u  . ' u  .sin(u  , ' u  ); w. 0; w. ' 0 u u     , …

 Chú ý. Ta còn ký hiệu tích có hướng là , ' u u      hoặc ' u u    .

2. Một số ví dụ giải toán.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có   4; 1;2 A   ,   3;5; 10 B  . Trung điểm cạnh

AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng   Oxz . Tọa độ đỉnh C là:

A.   4; 5; 2 C   . B.   4;5;2 C . C.   4; 5;2 C  . D.   4;5; 2 C  .

Phân tích:

+ Kiến thức: Trung điểm của đoạn thẳng

+ Vận dụng: Đối với AC và BC

+ Kĩ năng: H(0; y; 0) là trung điểm AC 0; 0 C A C A x x z z      (Loại đáp án B và C)

K(x; 0; z) là trung điểm BC 0 C B y y    (Loại đáp án D)

Đáp số: Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm   1;2;3 A . Khoảng cách từ A đến trục Oy bằng:

A. 10. B. 10. C. 2. D. 3.

Phân tích:

+ Kiến thức: Khoảng cách từ điểm đến trục tọa độ

+ Vận dụng: đối với A

+ Kĩ năng: H(0; 2; 0) là hình chiếu A trên Oy 2 2 2 2 1 3 10 HA OA OH      

Đáp số: Chọn B.

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ   3; 1; 2 a    ,   1;2; b m   và   5;1;7 c   . Giá trị

của m để , c a b        là:

A. 1 . B. 0 . C. 1. D. 2 .

Phân tích:

+ Kiến thức: Tích CÓ HƯỚNG của hai véc tơ

+ Vận dụng: Đối với a  và b 

+ Kĩ năng: Tính chất của tích có hướng: . 0 5 2 7 0 1. cb m m      

Đáp số: Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với Oxyz , cho hai vectơ a  và b  thỏa mãn 2 3, 3 a b     và   0 , 30 a b   .

Độ dài của vectơ 5 , 2 a b        bằng:

A. 3 3. B. 9. C. 30 3. D. 90.