Phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng và phương trình mặt cầu

CHỦ ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG

THẲNG VÀ MẶT CẦU

VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ 0 n ≠  

được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá

của n 

vuông góc với (α).

Nêu 2 vectơ u 

và v 

không cùng phương và giá của chúng song song

với một mặt phẳng (α) (hoặc nằm trên (α)) thì vectơ , n u v   =    

là một

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Chú ý: Nếu 0 n ≠  

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì . ( , 0) k n k k ∈ ≠   cũng là một vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng (α).

Ví dụ: Nếu (2;4;6) n = 

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì 1 (1;2;3) n = 

cũng là một vectơ

pháp tuyến của mặt phẳng (α). Trong quá trình tính toán ta nên chọn vectơ đơn giản nhất.

2. Mặt phẳng đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; ; M x y z có vectơ pháp tuyến là ( ) n A;B;C = 

có phương trình tổng quát

là 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0. A x x B y y C z z − + − + − =

3. Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng Ax+ By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0.

Ngược lại mỗi phương trình có dạng trên đều là phương trình của một mặt phẳng.

Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ ( ; ; ) n A B C = 

là vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng (α).

4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng (α) không đi qua gốc O, cắt trục Ox tại điểm ( ) ;0;0 A a , cắt trục Oy tại điểm ( ) 0;b;0 B và cắt

trục Oz tại điểm ( ) 0;0; C c có phương trình 1 x y z a b c + + = (abc≠0).

Phương trình này được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (α).

5. Một số cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay gặp:

• (P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có vectơ pháp tuyến p n AB,AC   =    

• (P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho p Q n n =  

• (P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì p p

p

n n n n ,n n n

α α β β

 ⊥    → =    ⊥ 

      

• (P) đi qua điểm A và song song với hai vectơ thì ,a b 

thì

p p

p

n a n a,b n b

 ⊥    → =    ⊥ 

     

• (P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì , p p

p

n AB n AB n n n α

α

 ⊥    → =    ⊥ 

     

II. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ 0 u ≠  

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của u 

song song hoặc trùng với d.

Chú ý: Nếu 0 u ≠  

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì . ( ; 0) k u k k ∈ ≠   cũng là một vectơ chỉ

phương của đường thẳng d.

2. Đường thẳng đi qua điểm ( ) 0 0 0 ; ; M x y z với vectơ chỉ phương

(a;b;c) u = 

có:

+ Phương trình tham số :

0

0

0

( ).

x x at

y y bt t

z z ct

= +   = + ∈  = + 



(Với mỗi giá trị t cho ta các giá trị tương ứng , , x y z tương ứng là tọa độ của một điểm M thuộc đường

thẳng).

+) Phương trình chính tắc là: 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = với điều kiện abc ≠ 0.

3. Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là Ax 0 By Cz D + + + = và

A'x ' ' ' 0 B y C z D + + + = với điều kiện A : B : C A' : B' : C' ≠

Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau. Gọi d là đường thẳng giao tuyến của chúng.

Đường thẳng d gồm những điểm M (x;y;z) vừa thuộc mặt phẳng (P) vừa thuộc mặt phẳng (Q) nên tọa độ

điểm M là nghiệm của hệ phương trình 0

0

Ax By Cz D . A' x B' y C' z D'

+ + + =   + + + = 

Khi đó ( P ) Q u n ,n   =    

với ( P ) Q n ( A;B;C ); n ( A';B';C') = =  

là một vectơ chỉ phương của đường

thẳng d.

4. Một số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay gặp:

• (d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho d u u∆ =  

• (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì 1

1 2

2

d d d d d

d d

u u u u ,u u u

 ⊥    → =    ⊥ 

      

• (d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì d d

d

u n u n ,n u n

α α β

β

 ⊥    → =    ⊥ 

     

• (d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (∆); song song …